La función que tienes es:

$y = \sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}$

Paso 1: Reescribamos la función en términos de exponentes fraccionarios:

$y = x^{1/2} - 6x^{1/3}$

Paso 2: Ahora derivemos la función usando la regla de la potencia.

La regla de la potencia para $x^n$ establece que la derivada es $nx^{n-1}$. Derivemos cada término de la función:

• Derivada de $x^{1/2}$: $\frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2}$
• Derivada de $-6x^{1/3}$: $\frac{d}{dx} (-6x^{1/3}) = -6 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = -2 x^{-2/3}$

Paso 3: Combinemos las derivadas:

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-2/3}$

Paso 4: Reescribamos en términos de radicales:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$

Resultado final:

La derivada de la función es:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre el procedimiento?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para funciones más complejas?
2. ¿Cómo derivar funciones con radicales que incluyan polinomios?
3. ¿Qué sucede si la función tiene productos o cocientes? ¿Cómo se derivan?
4. ¿Qué teoremas básicos se usan para la diferenciación de exponentes fraccionarios?
5. ¿Cómo se resuelven derivadas cuando la función involucra más de un tipo de raíz?

Consejo:

Al derivar funciones con radicales, es útil convertir las raíces a potencias fraccionarias para aplicar más fácilmente las reglas de derivación.