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Halle la primera derivada de las siguientes funciones aplique teoremas básicos

La función que tienes es:

\[
y = \sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}
\]

### Paso 1: Reescribamos la función en términos de exponentes fraccionarios:

\[
y = x^{1/2} - 6x^{1/3}
\]

### Paso 2: Ahora derivemos la función usando la regla de la potencia.

La regla de la potencia para \(x^n\) establece que la derivada es \(nx^{n-1}\). Derivemos cada término de la función:

- Derivada de \(x^{1/2}\):
  \[
  \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2}
  \]
- Derivada de \(-6x^{1/3}\):
  \[
  \frac{d}{dx} (-6x^{1/3}) = -6 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = -2 x^{-2/3}
  \]

### Paso 3: Combinemos las derivadas:

\[
y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2x^{-2/3}
\]

### Paso 4: Reescribamos en términos de radicales:

\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}
\]

### Resultado final:
La derivada de la función es:

\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre el procedimiento?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para funciones más complejas?
2. ¿Cómo derivar funciones con radicales que incluyan polinomios?
3. ¿Qué sucede si la función tiene productos o cocientes? ¿Cómo se derivan?
4. ¿Qué teoremas básicos se usan para la diferenciación de exponentes fraccionarios?
5. ¿Cómo se resuelven derivadas cuando la función involucra más de un tipo de raíz?

### Consejo:
Al derivar funciones con radicales, es útil convertir las raíces a potencias fraccionarias para aplicar más fácilmente las reglas de derivación.

Explore the detailed steps to find the first derivative of the function y = sqrt(x) - 6*cbrt(x), using basic differentiation theorems like the Power Rule. This guide is suitable for college students studying calculus.

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