Задача 6.24

В треугольнике с основанием $AB = 20$ см и высотой $h = 15$ см нарисован квадрат, две вершины которого лежат на основании, а две другие — на наклонных сторонах треугольника. Требуется найти сторону квадрата.

1. Площадь треугольника $S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150$ см².
2. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда высота оставшейся части треугольника сверху, где вписан квадрат, будет равна $h - x$.
3. Площадь маленького треугольника (над квадратом) будет пропорциональна отношению высот, так как основания треугольников подобны. Площадь маленького треугольника будет $\frac{(h - x)^2}{h^2} \times S_{\text{треугольника}}$.
4. Уравняем площади: $x^2 = \frac{(h - x)^2}{h^2} \times S_{\text{треугольника}}$.

Решив уравнение, мы находим, что сторона квадрата $x = 6.25$ см.

Задача 6.25

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей, дано: $BO = 3$, $OC = 4$, $AO = 6$. Найти $OD$.

1. Из свойства пересечения диагоналей трапеции следует, что отрезки диагоналей делятся в одинаковом отношении.
2. Поскольку $BO:OC = 3:4$, то это отношение сохраняется для отрезков $AO:OD$.
3. Тогда $\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC} = \frac{3}{4}$.
4. Поскольку $AO = 6$, составим пропорцию: $\frac{6}{OD} = \frac{3}{4}$.
5. Решая её, получаем $OD = 8$ см.

Задача 6.26

В трапеции $ABCD$ одна из диагоналей разделена точкой пересечения диагоналей в соотношении $4:5$. Малое основание равно $20$ см. Найти большое основание.

1. Если точки пересечения диагоналей делят диагонали в соотношении $4:5$, то это же соотношение сохраняется для оснований трапеции.
2. Пусть большее основание равно $x$.
3. Тогда пропорция между основаниями равна $\frac{x}{20} = \frac{5}{4}$.
4. Решив это уравнение, находим $x = 25$ см.

Задача 6.27

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ (где $BC \parallel AD$) пересекаются в точке $O$. Дано: $AO = 20$ см, $OC = 16$ см, малое основание равно $24$ см. Найти большее основание.

1. В трапеции отношения отрезков диагоналей совпадают с отношением оснований.
2. Поскольку $AO:OC = 20:16 = 5:4$, это и есть отношение большего основания к меньшему.
3. Пусть большее основание равно $x$.
4. Составим пропорцию: $\frac{x}{24} = \frac{5}{4}$.
5. Решая уравнение, находим $x = 30$ см.

Есть ли какие-либо вопросы или хотите рассмотреть подробнее какую-то часть решения?

---

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Какие еще способы нахождения сторон в треугольнике, вписанном в квадрат, могут быть использованы?
2. Как доказать, что точка пересечения диагоналей делит диагонали трапеции в одном и том же отношении?
3. Как найти отношение оснований, если соотношение отрезков диагоналей дано не целым числом?
4. В каких случаях диагонали трапеции будут равными, и как это влияет на пропорции?
5. Как изменится решение задачи, если в трапеции будет прямой угол?

Совет: В подобных задачах всегда полезно обозначить неизвестные переменные, чтобы составить пропорцию, а затем решать систему уравнений.