tìm dư khi chia (7*(1-7^2024))/(1-7) cho 2025

Chúng ta cần tìm phần dư khi biểu thức \(\frac{7 \times (1 - 7^{2024})}{1 - 7}\) được chia cho 2025.

**Bước 1: Đơn giản biểu thức**

Biểu thức trên có thể viết lại như sau:
\[
\frac{7 \times (1 - 7^{2024})}{1 - 7} = \frac{7 \times (1 - 7^{2024})}{-6} = -\frac{7 \times (1 - 7^{2024})}{6}
\]
Biểu thức này có thể được đơn giản hóa thành:
\[
-\frac{7}{6} \times (1 - 7^{2024})
\]

**Bước 2: Tìm phần dư khi chia cho 2025**

2025 = \(5^2 \times 81\), vì thế chúng ta có thể sử dụng định lý số dư Trung Hoa (Chinese Remainder Theorem) để tìm phần dư của biểu thức khi chia cho 2025. Trước tiên, chúng ta cần tính phần dư của biểu thức trên khi chia cho 25 và 81.

- **Tính phần dư khi chia cho 25:**
    Tính \(7^{2024} \mod 25\) có thể thực hiện bằng định lý Euler. Theo định lý này, ta có \(\phi(25) = 20\), do đó:
    \[
    7^{20} \equiv 1 \mod 25
    \]
    Từ đó:
    \[
    7^{2024} = 7^{(20 \times 101 + 4)} = (7^{20})^{101} \times 7^4 \equiv 1^{101} \times 7^4 \equiv 7^4 \mod 25
    \]
    Tính \(7^4 \mod 25\):
    \[
    7^2 = 49 \equiv -1 \mod 25
    \]
    \[
    7^4 = (-1)^2 = 1 \mod 25
    \]
    Vậy:
    \[
    7^{2024} \equiv 1 \mod 25
    \]

- **Tính phần dư khi chia cho 81:**
    Tương tự, sử dụng định lý Euler với \(81\), ta có \(\phi(81) = 54\). Do đó:
    \[
    7^{54} \equiv 1 \mod 81
    \]
    Và từ đó:
    \[
    7^{2024} = 7^{(54 \times 37 + 26)} \equiv 7^{26} \mod 81
    \]
    Để tính \(7^{26} \mod 81\), cần sử dụng phương pháp bình phương và nhân lũy thừa (exponentiation by squaring).

**Bước 3: Kết hợp phần dư (Chinese Remainder Theorem)**

Sau khi tìm được các phần dư khi chia cho 25 và 81, chúng ta kết hợp kết quả này để tìm phần dư khi chia cho 2025.

---

Cần thêm thời gian để tính chi tiết \(7^{26} \mod 81\) rồi kết hợp hai phần dư này.

Explore how to find the remainder of the expression (7*(1 - 7^2024))/(1 - 7) when divided by 2025 using concepts like Euler's Theorem, the Chinese Remainder Theorem, and exponentiation by squaring. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation