Vamos a resolver la tabla aplicando cálculo diferencial. Para cada función, determinaremos los puntos máximos, mínimos, puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Instrucciones generales:

1. Derivada primera $f'(x)$: Sirve para encontrar los puntos críticos y definir los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
2. Derivada segunda $f''(x)$: Nos ayuda a encontrar los puntos de inflexión y determinar la concavidad de la función.
3. Puntos máximos y mínimos: Los puntos críticos obtenidos de la derivada primera se evalúan con la derivada segunda para ver si son máximos o mínimos.
4. Intervalos crecientes y decrecientes: Se determinan con el signo de $f'(x)$ en cada intervalo.

Función 1: $f(x) = \frac{x^3}{3} + 4x^2 - 9x + 7$

1. Derivada primera: $f'(x) = x^2 + 8x - 9$ Puntos críticos: Resolver $f'(x) = 0$: $x^2 + 8x - 9 = 0$ Usamos la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}$ $x_1 = 1, \quad x_2 = -9$

2. Derivada segunda: $f''(x) = 2x + 8$ Evaluamos los puntos críticos en $f''(x)$:

   • $f''(1) = 2(1) + 8 = 10$ (positivo, es un mínimo en $x = 1$).
   • $f''(-9) = 2(-9) + 8 = -10$ (negativo, es un máximo en $x = -9$).

3. Puntos de inflexión: Resolver $f''(x) = 0$: $2x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4$ El punto de inflexión está en $x = -4$.

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

   • Crece en $(-9, 1)$.
   • Decrece en $(-\infty, -9) \cup (1, \infty)$.

Voy a continuar resolviendo el resto de las funciones y completando la tabla. ¿Quieres que lo haga paso a paso para cada función o todas juntas en un resumen?