La oss løse oppgavene en etter en.

1. Finn en basis for radrommet til $A$: For å finne radrommet til $A$, må vi gjøre elementære radoperasjoner for å redusere matrisen til radtrappeform (row echelon form). Matrisen $A$ er: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}$

   Utfør radoperasjoner på $A$:

   1. Del rad 1 med 2 for å få en ledende 1 i øverste venstre hjørne: $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -3 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
   2. Legg 3 ganger rad 1 til rad 2 for å eliminere første element i rad 2: $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{bmatrix}$
   3. Multipliser rad 2 med -2 for å få en ledende 1: $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix}$
   4. Trekk $\frac{1}{2}$ ganger rad 2 fra rad 1 for å eliminere andre element i rad 1: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix}$

   De ikke-null radene i den radtrappeformede matrisen utgjør radrommet. Derfor er en basis for radrommet: $\text{Basis for radrommet} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix} \right\}$

2. Finn en basis for kolonnerommet til $A$: Kolonnerommet er spanet til de lineært uavhengige kolonnene i matrisen $A$. For å finne hvilke kolonner som er lineært uavhengige, ser vi på radtrappeformen til $A$, som er: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix}$

   De pivotkolonnene i den originale matrisen (før radoperasjoner) er de som korresponderer til de pivotkolonnene i radtrappeformen. I dette tilfellet er det første og andre kolonne i $A$, så en basis for kolonnerommet er: $\text{Basis for kolonnerommet} = \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \right\}$

3. Finn en basis for nullrommet til $A$: Nullrommet består av alle løsningene til $A\mathbf{x} = 0$, der $\mathbf{x}$ er en vektor. Vi setter opp ligningssystemet:

   2x_1 + x_2 + x_3 &= 0 \\ -3x_1 - 2x_2 + x_3 &= 0 \end{aligned}$$ Bruk radtrappeformen til å løse dette systemet: $$\begin{aligned} x_1 + 3x_3 &= 0 \\ x_2 - 5x_3 &= 0 \end{aligned}$$ Løsningene er: $$x_1 = -3x_3, \quad x_2 = 5x_3, \quad x_3 = x_3$$ La $$x_3 = t$$, der $$t$$ er en fri variabel. Da får vi: $$\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$$ En basis for nullrommet er dermed: $$\text{Basis for nullrommet} = \left\{ \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

Ønsker du mer detaljer om noen av løsningene eller har du noen spørsmål?

Her er 5 relaterte spørsmål:

1. Hva er forskjellen mellom radrommet og kolonnerommet til en matrise?
2. Hvordan kan vi bestemme om kolonner er lineært uavhengige?
3. Hva er den geometriske tolkningen av nullrommet til en matrise?
4. Hvordan påvirker pivotelementene radtrappeformen?
5. Hva er sammenhengen mellom rang og nullitet til en matrise?

Tips: Nullrommet gir informasjon om hvilke vektorer som blir projisert til nullrommet når matrisen multipliseres med en vektor. Dette kan hjelpe i analyse av lineære systemer.