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Para resolver el problema 1, donde se nos pide hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto \((3, -1)\) a la elipse \(2x^2 + 3y^2 + x - y = 0\), seguimos estos pasos:

1. **Representación general de la ecuación de la tangente a la elipse**:
   La forma general de la tangente a una elipse \(Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0\) en un punto \((x_0, y_0)\) es:
   \[
   Ax x_0 + By y_0 + \frac{D(x + x_0)}{2} + \frac{E(y + y_0)}{2} + F = 0
   \]

2. **Determinar los coeficientes de la elipse dada**:
   En la ecuación \(2x^2 + 3y^2 + x - y = 0\), tenemos:
   \[
   A = 2, \quad B = 3, \quad D = 1, \quad E = -1, \quad F = 0
   \]

3. **Ecuaciones de las tangentes desde el punto externo \((3, -1)\)**:
   Usamos la condición de que las tangentes trazadas desde un punto \((x_1, y_1)\) a una cónica \(Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0\) tienen la forma:
   \[
   A(x x_1) + B(y y_1) + \frac{D(x + x_1)}{2} + \frac{E(y + y_1)}{2} + F = 0
   \]

4. **Sustitución del punto \((3, -1)\) en la ecuación**:
   Reemplazamos \(x_0 = 3\) y \(y_0 = -1\) en la ecuación general:
   \[
   2x \cdot 3 + 3y \cdot (-1) + \frac{1(x + 3)}{2} + \frac{-1(y - 1)}{2} = 0
   \]
   \[
   6x - 3y + \frac{1}{2}(x + 3) - \frac{1}{2}(y - 1) = 0
   \]
   Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar los denominadores:
   \[
   12x - 6y + (x + 3) - (y - 1) = 0
   \]
   Simplificamos:
   \[
   12x - 6y + x + 3 - y + 1 = 0
   \]
   \[
   13x - 7y + 4 = 0
   \]

Por lo tanto, la ecuación de las tangentes desde el punto \((3, -1)\) a la elipse \(2x^2 + 3y^2 + x - y = 0\) es:
\[
13x - 7y + 4 = 0
\]

Si tienes alguna duda o deseas más detalles sobre los pasos, por favor, avísame. Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas que podrían ayudarte a expandir tu comprensión:

1. ¿Cómo se determina la ecuación de la tangente para una hipérbola?
2. ¿Qué diferencia hay entre las tangentes de una elipse y una parábola?
3. ¿Cómo afecta la posición del punto externo a la ecuación de la tangente?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de las tangentes en una elipse?
5. ¿Cómo encontrar los puntos de tangencia exactos en la elipse?
6. ¿Qué métodos alternativos existen para hallar la ecuación de la tangente?
7. ¿Cómo verificar si una línea es tangente a una elipse?
8. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las tangentes a las elipses en la ingeniería y la física?

**Tip**: Recuerda que la derivada de la ecuación implícita de una cónica también puede utilizarse para encontrar las pendientes de las tangentes en puntos específicos.

Learn how to find the equations of tangent lines drawn from point (3, -1) to the ellipse 2x^2 + 3y^2 + x - y = 0. This problem involves conic sections and tangent line equations, suitable for advanced high school students.

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