Нахождение суммы прогрессии в бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1•b3•b5=-125.b2+b4=26

Для решения задачи, где требуется найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно учитывать два условия:

1. Произведение \( b_1 \cdot b_3 \cdot b_5 = -125 \)
2. Сумма \( b_2 + b_4 = 26 \)

Рассмотрим последовательность \( b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, \dots \) как геометрическую прогрессию. Это значит, что каждый член можно выразить через предыдущий с использованием общего множителя \( q \), где \( b_{n+1} = b_n \cdot q \).

### Решение:
Обозначим первый член прогрессии как \( b_1 = a \). Тогда:

- \( b_2 = a \cdot q \)
- \( b_3 = a \cdot q^2 \)
- \( b_4 = a \cdot q^3 \)
- \( b_5 = a \cdot q^4 \)

Исходя из первого условия \( b_1 \cdot b_3 \cdot b_5 = -125 \), можем записать:

\[
a \cdot (a \cdot q^2) \cdot (a \cdot q^4) = -125
\]

Это упрощается до:

\[
a^3 \cdot q^6 = -125 \quad \text{или} \quad a^3 \cdot q^6 = -5^3
\]

Значит, \( a \cdot q^2 = -5 \).

Теперь обратимся ко второму условию \( b_2 + b_4 = 26 \):

\[
a \cdot q + a \cdot q^3 = 26
\]

Вынесем \( a \) за скобки:

\[
a (q + q^3) = 26
\]

Теперь у нас есть система двух уравнений:
1. \( a^3 \cdot q^6 = -125 \)
2. \( a (q + q^3) = 26 \)

Давайте решим систему. 

Решением системы являются два реальных случая:

1. \( a = -125 \) и \( q = -\frac{1}{5} \)
2. \( a = -\frac{1}{5} \) и \( q = -5 \)

Теперь рассмотрим эти два случая. Чтобы сумма геометрической прогрессии была конечной (а прогрессия убывающей), модуль общего множителя \( |q| \) должен быть меньше 1.

### Вывод:
Подходит только первое решение: \( a = -125 \) и \( q = -\frac{1}{5} \).

Теперь можно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле:

\[
S = \frac{b_1}{1 - q}
\]

Подставим значения:

\[
S = \frac{-125}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{-125}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-125}{\frac{6}{5}} = -125 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{625}{6}
\]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( -\frac{625}{6} \).

Хочешь получить больше подробностей или есть вопросы?

### 5 вопросов для дальнейшего исследования:
1. Как выводится формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии?
2. Как влияет знак общего множителя \( q \) на поведение геометрической прогрессии?
3. Можно ли найти сумму бесконечной прогрессии при \( |q| \geq 1 \)?
4. Как изменится задача, если исходные данные изменить на положительные значения?
5. Как можно графически интерпретировать убывающую геометрическую прогрессию?

#### Совет:
Всегда проверяй, удовлетворяют ли условиям задачи все найденные решения, чтобы избежать ошибок в выборе ответа.

Learn how to find the sum of an infinite decreasing geometric progression with a step-by-step solution. This problem involves solving equations derived from the properties of geometric progressions. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation