Чтобы найти выборочное уравнение прямой линии регрессии $Y$ на $X$, применяем стандартное уравнение:

$Y = a + bX$

где:

• $b$ — коэффициент наклона линии регрессии, рассчитывается как: $b = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x},$
• $a$ — свободный член, рассчитывается по формуле: $a = \overline{y} - b \cdot \overline{x}.$

Дано:

$\overline{x} = 16, \quad \overline{y} = 10, \quad \sigma_x = 2, \quad \sigma_y = 4, \quad r = -0.9.$

1. Рассчитаем коэффициент наклона $b$: $b = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} = -0.9 \cdot \frac{4}{2} = -0.9 \cdot 2 = -1.8.$

2. Найдем свободный член $a$: $a = \overline{y} - b \cdot \overline{x} = 10 - (-1.8 \cdot 16).$ $a = 10 + 28.8 = 38.8.$

3. Уравнение регрессии: $Y = 38.8 - 1.8X.$

Ответ:

Выборочное уравнение регрессии $Y$ на $X$: $Y = 38.8 - 1.8X.$

---

Хотите увидеть график этой прямой или дополнительное объяснение?

Вопросы для изучения:

1. Как интерпретировать коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении регрессии?
2. В чем разница между уравнением регрессии $Y$ на $X$ и $X$ на $Y$?
3. Почему коэффициент корреляции влияет на угол наклона регрессии?
4. Как изменится уравнение, если $r$ будет положительным?
5. Можно ли использовать это уравнение для прогнозирования $Y$ вне выборочного интервала?

Совет:

Для проверки адекватности уравнения регрессии всегда анализируйте коэффициент детерминации ($R^2$), который является квадратом коэффициента корреляции $r$.