右の図のように、母線の長さが6cmの円すいがある。この円すいを、頂点Oを中心として、平面上ですべることなく転がしたところ、点線で表した円の上を1周してもとの位置に戻るまでに、円すいはちょうど3回転した。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率はnとする。
① この円すいの底面の円の半径を求めなさい。

この問題では、円すいが1周転がる際に、母線の長さと接する円の周が関係しています。まず、円すいの底面の円の半径を求めるには、次のステップを踏んでいきます。

### 1. 円すいの転がりに関する円周
円すいが平面上を滑らずに転がりながら、点線で表された円の周上を1周して元の位置に戻ったとき、円すいはちょうど3回転しました。これは、円すいが転がる際に、母線が転がり接する軌跡の円の周長が円すいの底面円の円周の3倍であることを意味します。

この「円周」の長さを \( L \) とすると、円すいの底面円の円周は次の式で表されます。
\[
L = 2 \pi r
\]
ただし、\( r \) は円すいの底面の円の半径です。

### 2. 点線の円の周
点線で表された円の半径を \( R \) とすると、その円周の長さは次のようになります。
\[
\text{点線の円の周の長さ} = 2 \pi R
\]
そして、問題から、円すいの底面の円周はこの円周の1/3であるため、以下の関係が成立します。
\[
2 \pi r = \frac{2 \pi R}{3}
\]
これを整理すると、
\[
r = \frac{R}{3}
\]
という式が得られます。

### 3. 母線の長さと円の半径の関係
円すいが転がるとき、母線の長さは点線の円の半径 \( R \) と等しいので、次の式が成り立ちます。
\[
R = 6 \, \text{cm}
\]
したがって、底面の半径 \( r \) は次のように計算できます。
\[
r = \frac{6}{3} = 2 \, \text{cm}
\]

### 答え
円すいの底面の円の半径は **2cm** です。

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次に知りたいことはありますか？あるいは詳細な説明が必要ですか？

以下に関連する5つの質問を挙げます：
1. 円すいの底面積を求めるにはどうすればよいですか？
2. 円すいの側面積を求めるにはどうすればよいですか？
3. この円すいの体積を求める公式はどのように導きますか？
4. 円すいが転がったとき、なぜ3回転するのか詳しく説明してください。
5. 円すいの高さを求めるにはどのような手順を踏むべきですか？

### Tip
円すいの体積を求める公式は、底面積に高さを掛け、その3分の1を取る方法で導き出せます。

右の図のように、母線の長さが6cmの円すいがある。この円すいを、頂点Oを中心として、平面上ですべることなく転がしたところ、点線で表した円の上を1周してもとの位置に戻るまでに、円すいはちょうど3回転した。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率はnとする。① この円すいの底面の円の半径を求めなさい。

Learn how to calculate the radius of a cone's base when it rolls without slipping, making three full rotations around a circle with a radius of 6 cm. This problem involves geometry concepts such as circumferences and cones, and uses the formula for the relationship between the radii of the cone and the rolling circle. Suitable for Grades 8-10.

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