В  пространстве V2
фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ).

Точка Q(xQ;yQ)
является ортогональной проекцией точки  P(18;−2)
на прямую  П:y+5⋅x−10=0.

Найдите координаты точки Q.

Для нахождения координат точки \( Q(x_Q; y_Q) \), являющейся ортогональной проекцией точки \( P(18; -2) \) на прямую \( \Pi: y + 5x - 10 = 0 \), будем следовать этим шагам:

### Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точку \( P \) и перпендикулярной прямой \( \Pi \).

Прямая \( \Pi \) задана уравнением:
\[
y + 5x - 10 = 0
\]
Из этого уравнения видно, что наклонный коэффициент этой прямой равен \( k = -5 \). Следовательно, наклонный коэффициент прямой, перпендикулярной \( \Pi \), будет равен \( k_{\perp} = \frac{1}{5} \).

Уравнение прямой, проходящей через точку \( P(18; -2) \) и имеющей наклонный коэффициент \( \frac{1}{5} \), имеет вид:
\[
y + 2 = \frac{1}{5}(x - 18)
\]
Приведем это уравнение к общему виду:
\[
5(y + 2) = x - 18
\]
\[
5y + 10 = x - 18
\]
\[
x - 5y = 28
\]

Теперь мы получили уравнение перпендикулярной прямой: \( x - 5y = 28 \).

### Шаг 2: Найдем точку пересечения этой прямой с прямой \( \Pi \).

Нам нужно решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y + 5x = 10, \\
x - 5y = 28.
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 5 и сложим с вторым:
\[
5y + 25x = 50,
\]
\[
x - 5y = 28.
\]

Складываем:


В пространстве V2 фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ). Точка Q(xQ;yQ) является ортогональной проекцией точки P(18;−2) на прямую П:y+5⋅x−10=0. Найдите координаты точки Q.

Learn how to calculate the coordinates of point Q, the orthogonal projection of point P(18, -2) onto the line y + 5x - 10 = 0 in a Cartesian coordinate system. This solution covers the use of perpendicular line slopes, projection concepts, and solving linear equations, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation