Для того чтобы найти натуральное число, которое делится на 3 и на 5 и имеет 8 делителей, можно использовать следующий подход.

1. Делимость на 3 и 5: Натуральное число должно быть кратно как 3, так и 5. Это означает, что оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК), которое равно 15. То есть число будет иметь вид $N = 15k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

2. Количество делителей числа: Количество делителей числа можно найти, используя его разложение на простые множители. Если число $N$ разлагается как $N = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_n^{e_n}$, то количество его делителей $D(N)$ вычисляется по формуле: $D(N) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \dots (e_n + 1)$ где $e_i$ — степени простых чисел в разложении числа $N$.

   Мы знаем, что количество делителей числа $N$ равно 8, то есть: $D(N) = 8$ Число 8 можно разложить на множители следующим образом: $8 = 2 \times 4 \quad \text{или} \quad 8 = 8$ Это означает, что разложение числа $N$ может быть следующим:

   • $N = p_1^3 p_2^1$, что дает 8 делителей.
   • $N = p_1^7$, что также дает 8 делителей.

3. Рассмотрим оба варианта:

   • Если $N = p_1^3 p_2^1$, то $N$ должно быть делимо на 3 и на 5, что означает, что $p_1$ или $p_2$ должны быть равны 3 или 5.

     • Пусть $p_1 = 3$, $p_2 = 5$. Тогда $N = 3^3 \times 5^1 = 27 \times 5 = 135$.
     • Количество делителей числа 135: $(3+1)(1+1) = 4 \times 2 = 8$. Это подходит.

   • Если $N = p_1^7$, то $N$ должно быть делимо на 3 и на 5, но степень простого числа $p_1$ не может быть одновременно 7 для обоих чисел 3 и 5. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, натуральное число, которое делится на 3 и 5 и имеет 8 делителей — это 135.

---

Если вам нужны дополнительные пояснения или подробности, дайте знать!

Вот пять дополнительных вопросов:

1. Как можно посчитать количество делителей для чисел, которые не являются произведением простых чисел?
2. Как узнать, сколько делителей имеет число, если известно его разложение на простые множители?
3. Как можно использовать формулу для делителей при нахождении чисел с определенным количеством делителей?
4. Что будет, если число делится на 3 и 5, но имеет больше или меньше 8 делителей?
5. Какие еще числовые задачи можно решить с использованием разложения на простые множители?

Совет: Применяйте разложение числа на простые множители для упрощения задач по нахождению числа с заданными свойствами!