Kita akan mencari nilai limit dari:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 3x + 2}{\sqrt{x} - 2}.$

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Substitusi Langsung

Jika kita substitusi $x = 4$ langsung, kita mendapatkan: $\frac{4^2 - 3(4) + 2}{\sqrt{4} - 2} = \frac{16 - 12 + 2}{2 - 2} = \frac{6}{0}.$ Ini menghasilkan bentuk tak tentu, sehingga kita perlu memanipulasi ekspresi lebih lanjut.

---

Langkah 2: Manipulasi Ekspresi

Kita fokus pada pembilang, $x^2 - 3x + 2$, dan faktorisasi: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).$ Sehingga, ekspresinya menjadi: $\frac{(x - 1)(x - 2)}{\sqrt{x} - 2}.$

---

Langkah 3: Rasionalisasi Penyebut

Untuk mengatasi bentuk tak tentu, kita mengalikan dan membagi ekspresi dengan $\sqrt{x} + 2$ (konjugat dari penyebut): $\frac{(x - 1)(x - 2)}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}.$ Maka ekspresinya menjadi: $\frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}.$

Penyebutnya menjadi: $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4.$

Jadi, ekspresi berubah menjadi: $\frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4}.$

---

Langkah 4: Sederhanakan Ekspresi

Perhatikan bahwa $x - 4$ dapat difaktorkan ulang menggunakan $x - 2$: $x - 4 = (x - 2)(x + 2).$

Substitusikan ke dalam ekspresi: $\frac{(x - 1)(x - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x} + 2)}.$

Kita dapat menyederhanakan dengan membatalkan $(x - 2)$ dan $(\sqrt{x} + 2)$, menghasilkan: $x - 1.$

---

Langkah 5: Hitung Limit

Sekarang, substitusi $x = 4$ ke dalam $x - 1$: $\lim_{x \to 4} x - 1 = 4 - 1 = 3.$

---

Jawaban Akhir:

$\boxed{3}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan tambahan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan apakah bentuk limit menghasilkan tak tentu?
2. Apa manfaat rasionalisasi dalam menyelesaikan limit dengan akar?
3. Bagaimana cara mengenali bentuk faktor yang relevan di pembilang dan penyebut?
4. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan limit ini tanpa faktorisasi?
5. Mengapa substitusi langsung sering menjadi langkah awal dalam limit?

Tip: Saat menghadapi bentuk tak tentu, gunakan teknik manipulasi aljabar seperti faktorisasi, rasionalisasi, atau aturan L'Hôpital jika diperlukan.