Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы $C$, используем стандартный подход:

1. Найти собственные значения. Для этого решаем характеристическое уравнение: $\det(C - \lambda I) = 0$ где $I$ — единичная матрица, а $\lambda$ — собственное значение.

2. Найти собственные векторы. Для каждого собственного значения $\lambda$ решаем уравнение: $(C - \lambda I)x = 0$ где $x$ — собственный вектор, соответствующий $\lambda$.

Шаг 1. Построение характеристического уравнения

Матрица $C - \lambda I$:

4 - \lambda & 0 & -1 \\ 2 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 0 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$$ Характеристическое уравнение: $$\det(C - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & 0 & -1 \\ 2 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 0 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = 0$$ Вычислим детерминант по первой строке: $$\det(C - \lambda I) = (4 - \lambda)\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 4 - \lambda \end{pmatrix} - 0 + (-1)\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 - \lambda \end{pmatrix}$$ Рассчитаем поддетерминанты: 1. $$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(4 - \lambda) - 0 = (2 - \lambda)(4 - \lambda)$$ 2. $$\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (2)(4 - \lambda) - (1)(-1) = 8 - 2\lambda + 1 = 9 - 2\lambda$$ Собираем всё вместе: $$\det(C - \lambda I) = (4 - \lambda)((2 - \lambda)(4 - \lambda)) - (-(9 - 2\lambda))$$ Раскроем скобки: $$\det(C - \lambda I) = (4 - \lambda)(8 - 6\lambda + \lambda^2) + (9 - 2\lambda)$$ $$= (32 - 24\lambda + 4\lambda^2 - 8\lambda + 6\lambda^2 - \lambda^3) + 9 - 2\lambda$$ $$= -\lambda^3 + 10\lambda^2 - 34\lambda + 41$$ Характеристическое уравнение: $$-\lambda^3 + 10\lambda^2 - 34\lambda + 41 = 0$$ ### Шаг 2. Нахождение корней характеристического уравнения Решим уравнение: $$-\lambda^3 + 10\lambda^2 - 34\lambda + 41 = 0$$ Попробуем найти целые корни, используя теорему о делителях свободного члена. Среди делителей 41 (это $$\pm 1, \pm 41$$) корнем оказывается $$\lambda = 1$$. Проверим это: $$-(1)^3 + 10(1)^2 - 34(1) + 41 = -1 + 10 - 34 + 41 = 0$$ Итак, $$\lambda = 1$$ — корень. Разделим полином на $$(\lambda - 1)$$, используя деление столбиком или схему Горнера. После деления получаем: $$-\lambda^3 + 10\lambda^2 - 34\lambda + 41 = (\lambda - 1)(-\lambda^2 + 9\lambda - 41)$$ Решаем квадратное уравнение: $$-\lambda^2 + 9\lambda - 41 = 0$$ Разделим на $$-1$$: $$\lambda^2 - 9\lambda + 41 = 0$$ Дискриминант: $$D = (-9)^2 - 4(1)(41) = 81 - 164 = -83$$ Так как дискриминант отрицателен, уравнение имеет два комплексных корня: $$\lambda_{2,3} = \frac{9 \pm i\sqrt{83}}{2}$$ ### Шаг 3. Собственные значения и собственные векторы - Собственные значения: $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = \frac{9 + i\sqrt{83}}{2}, \quad \lambda_3 = \frac{9 - i\sqrt{83}}{2}$$ - Для каждого значения $$\lambda$$ можно найти собственные векторы, решая $$(C - \lambda I)x = 0$$. Если хотите, могу выполнить этот шаг. Хотите подробнее разобрать нахождение собственных векторов?