Kita diberikan matriks $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 8 & -1 \end{bmatrix}$. Berikut langkah-langkah untuk menjawab pertanyaan:

---

1. Persamaan Karakteristik

Persamaan karakteristik didapat dari $\det(A - \lambda I) = 0$, di mana $I$ adalah matriks identitas dan $\lambda$ adalah nilai eigen.

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3-\lambda & 0 \\ 8 & -1-\lambda \end{bmatrix}$

Determinan matriks ini adalah: $\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(-1-\lambda) - (8)(0)$ $\det(A - \lambda I) = -3 - 3\lambda + \lambda + \lambda^2$ $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 2\lambda - 3$

Persamaan karakteristik: $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$

---

2. Nilai Eigen ($\lambda$)

Kita selesaikan persamaan karakteristik: $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$ $(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

Nilai eigen adalah: $\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -1$

---

3. Vektor Eigen

Untuk masing-masing nilai eigen, kita hitung vektor eigen ($v$) dengan menyelesaikan persamaan $(A - \lambda I)v = 0$.

Untuk $\lambda_1 = 3$:

$A - 3I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 8 & -4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 8 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

Persamaan menghasilkan $y = 0$ dan $x$ bebas. Maka, vektor eigen: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Untuk $\lambda_2 = -1$:

$A - (-1)I = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

Persamaan menghasilkan $x = 0$ dan $y$ bebas. Maka, vektor eigen: $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

---

4. Basis Eigen

Basis eigen matriks $A$ adalah $\{v_1, v_2\} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$.

---

5. Matriks $P$ yang Mendiagonalisasi

Matriks $P$ dibentuk dari vektor-vektor eigen sebagai kolom: $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Maka, $P^{-1}AP = D$, di mana $D$ adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal berupa nilai eigen: $D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

---

Jika ada pertanyaan, mari kita diskusikan lebih lanjut! Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan vektor eigen jika ada parameter tambahan dalam matriks?
2. Mengapa basis eigen memastikan matriks $A$ bisa didiagonalisasi?
3. Bagaimana kita tahu suatu matriks dapat didiagonalisasi atau tidak?
4. Apa hubungan antara nilai eigen dan determinan matriks?
5. Bagaimana cara menggunakan matriks diagonal untuk mempercepat perhitungan eksponensial matriks?

Tip: Selalu periksa apakah jumlah vektor eigen independen sama dengan ukuran matriks untuk memastikan matriks bisa didiagonalisasi!