Math Problem Statement
Tolong bantu saya nomor 4
Tentukan nilai eigen dan basis ruang eigen dari matriks nomor 4.
Solution
Baik, saya akan membantu Anda menyelesaikan soal nomor 4 untuk menemukan nilai eigen () dan basis ruang eigen dari matriks yang diberikan. Matriksnya adalah:
3 & 0 & -5 \\ \frac{1}{5} & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$ Mari kita hitung langkah demi langkah. --- ### Langkah 1: Cari Nilai Eigen ($$\lambda$$) Untuk mencari nilai eigen, kita perlu menghitung determinan dari $$A - \lambda I$$, dengan $$I$$ adalah matriks identitas: $$\det(A - \lambda I) = 0$$ Bentuk $$A - \lambda I$$: $$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3-\lambda & 0 & -5 \\ \frac{1}{5} & -1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -2-\lambda \end{bmatrix}$$ Hitung determinannya: $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & -5 \\ \frac{1}{5} & -1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -2-\lambda \end{vmatrix}$$ Gunakan ekspansi kofaktor pada baris pertama: $$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda & 0 \\ 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} - (0) + (-5) \begin{vmatrix} \frac{1}{5} & -1-\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ #### (a) Hitung sub-determinan pertama: $$\begin{vmatrix} -1-\lambda & 0 \\ 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda)(-2-\lambda) - (0)(1) = (1 + 3\lambda + \lambda^2)$$ #### (b) Hitung sub-determinan kedua: $$\begin{vmatrix} \frac{1}{5} & -1-\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{5}(1)\right) - \left((-1-\lambda)(1)\right) = \frac{1}{5} + 1 + \lambda = \frac{6}{5} + \lambda$$ Substitusikan hasil ini ke dalam persamaan determinan: $$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(1 + 3\lambda + \lambda^2) - 5\left(\frac{6}{5} + \lambda\right)$$ Sederhanakan: $$\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda + 1) - (6 + 5\lambda)$$ Distribusikan $$(3-\lambda)$$ ke $$(\lambda^2 + 3\lambda + 1)$$: $$(3-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda + 1) = 3\lambda^2 + 9\lambda + 3 - \lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda$$ $$= -\lambda^3 + 6\lambda + 3$$ Substitusikan kembali: $$\det(A - \lambda I) = (-\lambda^3 + 6\lambda + 3) - (6 + 5\lambda)$$ $$= -\lambda^3 + 6\lambda + 3 - 6 - 5\lambda$$ $$= -\lambda^3 + \lambda - 3$$ Jadi, persamaan karakteristiknya adalah: $$-\lambda^3 + \lambda - 3 = 0$$ Atau: $$\lambda^3 - \lambda + 3 = 0$$ --- ### Langkah 2: Cari Akar (Nilai Eigen) Persamaan karakteristik $$\lambda^3 - \lambda + 3 = 0$$ dapat diselesaikan secara numerik atau dengan substitusi nilai. Kita coba substitusi untuk mencari nilai eigen: 1. Uji $$\lambda = 1$$: $$1^3 - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3 \quad (\text{bukan akar})$$ 2. Uji $$\lambda = -1$$: $$(-1)^3 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 \quad (\text{bukan akar})$$ Lakukan metode faktorisasi atau numerik (dengan alat hitung atau software). Apakah Anda ingin saya melanjutkan untuk mencari nilai eigen secara numerik?Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Eigenvalues and Eigenvectors
Determinants
Matrix Algebra
Formulas
Characteristic equation det(A - λI) = 0
Eigenvector equation (A - λI)x = 0
Theorems
Eigenvalue and Eigenvector Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics