Data l’equazione della circonferenza: x2

+ y2

– 2x – 4y – 4 = 0, determinarne Centro e raggio;

Per determinare il centro e il raggio di una circonferenza dalla sua equazione generale, dobbiamo riscrivere l'equazione nella forma canonica:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

dove \((h, k)\) sono le coordinate del centro e \(r\) è il raggio della circonferenza.

L'equazione fornita è:

\[
x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0.
\]

Per trovare il centro e il raggio, dobbiamo completare il quadrato per i termini in \(x\) e \(y\).

### 1. Completamento del quadrato

Partiamo riscrivendo i termini dell'equazione separando \(x\) e \(y\):

\[
x^2 - 2x + y^2 - 4y = 4.
\]

Ora completiamo il quadrato per i termini in \(x\) e \(y\):

- **Per \(x^2 - 2x\):**

  \[
  x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.
  \]

- **Per \(y^2 - 4y\):**

  \[
  y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4.
  \]

Sostituiamo questi nella nostra equazione:

\[
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 4.
\]

Ora, sommiamo i termini costanti a destra:

\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 = 4.
\]

Portiamo \(-5\) a destra:

\[
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9.
\]

### 2. Determinazione del centro e del raggio

L'equazione ora è nella forma canonica \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\).

Confrontando, possiamo identificare:
- \(h = 1\), \(k = 2\) (quindi il centro \(C(1, 2)\)),
- \(r^2 = 9\), quindi \(r = \sqrt{9} = 3\).

### Risultato finale

- **Centro della circonferenza:** \(C(1, 2)\)
- **Raggio della circonferenza:** \(r = 3\)

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#### Domande correlate:
1. Come si completa il quadrato per un'equazione generica di una conica?
2. Come determinare il centro e il raggio di una circonferenza passante per tre punti dati?
3. Come trasformare l'equazione di una circonferenza in forma parametrica?
4. Qual è la relazione tra il discriminante di una conica e la sua tipologia (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole)?
5. Come si determina l'equazione della tangente a una circonferenza da un punto esterno?

#### Consiglio:
Il completamento del quadrato è una tecnica utile non solo per le circonferenze, ma anche per determinare le caratteristiche delle coniche in generale, come ellissi, parabole e iperboli.

Learn how to find the center and radius of a circle from its general equation x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0. Step-by-step explanation using completing the square technique for circle equations. Suitable for advanced high school students and anyone interested in circle equations and geometry.

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