Для решения задачи нам нужно найти катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого делится вписанной окружностью на отрезки 12 см и 5 см.

Обозначения:

• $c$ — гипотенуза треугольника,
• $a$ и $b$ — катеты треугольника.

Дано:

• Гипотенуза $c = 12 + 5 = 17$ см.
• Вписанная окружность делит гипотенузу на отрезки $12$ см и $5$ см.

В прямоугольном треугольнике для катетов $a$ и $b$ справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

Использование теоремы о вписанной окружности

В прямоугольном треугольнике точка касания окружности делит гипотенузу на отрезки, которые равны разности полупериметра и катетов: $AD = s - b = 5,$ $DB = s - a = 12,$ где $s = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Найдем катеты $a$ и $b$

Сначала выразим полупериметр: $s = \frac{a + b + 17}{2}$ Тогда у нас есть две системы уравнений: $s - b = 5$ $s - a = 12$

Подставляем $s = \frac{a + b + 17}{2}$ в уравнения: $\frac{a + b + 17}{2} - b = 5$ $\frac{a + b + 17}{2} - a = 12$

Решая систему этих уравнений, получаем:

Первое уравнение: $\frac{a + b + 17}{2} - b = 5 \quad \Rightarrow \quad a + b + 17 - 2b = 10 \quad \Rightarrow \quad a - b = -7 \quad \Rightarrow \quad a = b - 7$

Второе уравнение: $\frac{a + b + 17}{2} - a = 12 \quad \Rightarrow \quad a + b + 17 - 2a = 24 \quad \Rightarrow \quad b - a = 7$

Таким образом, $a$ и $b$ связаны линейными выражениями: $a = 8 \, \text{см}, \quad b = 15 \, \text{см}.$

Ответ:

Катеты треугольника равны $8$ см и $15$ см.

Вопросы:

1. Как найти радиус вписанной окружности, если известны катеты?
2. Какую площадь имеет этот треугольник?
3. Что произойдет, если гипотенуза разделится на равные части?
4. Как рассчитать длину окружности?
5. Можно ли решить задачу графическим методом?

Совет: Запомните, что в задачах на вписанные окружности полезно использовать свойства полупериметра и касательных!