Exercice 1.25. Factorisation des similitudes propres. Soit F une similitude propre. Choisissez votre point O préféré. Montrez qu’il existe une et une seule façon d’écrire F sous la forme (avec λ > 0)
F=TOO′ ◦HO,λ◦RO,θ.

Pour résoudre cet exercice, il s'agit de factoriser une similitude propre \( F \) en trois transformations géométriques : une translation \( T_{O O'} \), une homothétie \( H_{O, \lambda} \), et une rotation \( R_{O, \theta} \). Le but est de montrer qu'une telle factorisation existe et est unique.

### Notation et définitions :
- \( F \) est une similitude propre, c'est-à-dire une transformation composée d'une rotation, d'une homothétie et d'une translation.
- \( O \) est un point de référence que vous choisissez.
- \( T_{O O'} \) est la translation qui déplace le point \( O \) vers un autre point \( O' \).
- \( H_{O, \lambda} \) est une homothétie de centre \( O \) et de rapport \( \lambda > 0 \).
- \( R_{O, \theta} \) est une rotation d'angle \( \theta \) autour du point \( O \).

### Décomposition de la similitude propre :
Une similitude propre \( F \) conserve l'orientation (contrairement à une similitude impropre) et peut s'exprimer comme la composition d'une homothétie, d'une rotation et d'une translation. Voici les étapes détaillées :

1. **Choix du point \( O \)** :  
   Vous commencez par choisir un point de référence \( O \). Ce point sera le centre de la rotation et de l'homothétie.

2. **Translation \( T_{O O'} \)** :  
   La similitude \( F \) déplace le point \( O \) vers un nouveau point \( O' = F(O) \). Cela correspond à une translation \( T_{O O'} \), qui déplace le point \( O \) vers \( O' \). Ainsi, on peut écrire :
   \[
   F = T_{O O'} \circ F',
   \]
   où \( F' \) est la similitude qui fixe \( O \) (c'est-à-dire \( F'(O) = O \)).

3. **Similitude réduite \( F' \)** :  
   Maintenant, \( F' \) est une similitude qui laisse le point \( O \) invariant. Toute transformation de ce type peut être décomposée en une rotation suivie d'une homothétie. Ainsi, il existe une homothétie \( H_{O, \lambda} \) de centre \( O \) et de rapport \( \lambda > 0 \), et une rotation \( R_{O, \theta} \) d'angle \( \theta \) autour de \( O \), telles que :
   \[
   F' = H_{O, \lambda} \circ R_{O, \theta}.
   \]

4. **Composition finale** :  
   En remplaçant \( F' \) dans l'expression de \( F \), on obtient :
   \[
   F = T_{O O'} \circ H_{O, \lambda} \circ R_{O, \theta}.
   \]
   Cela montre que \( F \) peut être décomposée de cette manière.

### Unicité de la décomposition :
- **Homothétie** : Le rapport de l'homothétie \( \lambda \) est unique, car il correspond au rapport de dilatation de la similitude.
- **Rotation** : L'angle \( \theta \) de la rotation est unique, car il est déterminé par la manière dont \( F \) tourne les points autour de \( O \).
- **Translation** : La translation \( T_{O O'} \) est également unique, puisqu'elle déplace \( O \) vers le point \( O' = F(O) \).

Ainsi, la décomposition de \( F \) sous la forme \( F = T_{O O'} \circ H_{O, \lambda} \circ R_{O, \theta} \) est unique.

### Conclusion :
Il existe donc une et une seule façon d'écrire une similitude propre \( F \) sous la forme d'une composition de translation, homothétie et rotation :
\[
F = T_{O O'} \circ H_{O, \lambda} \circ R_{O, \theta}.
\]

---

**Voulez-vous plus de détails sur certains aspects ?**

### Questions associées :
1. Quelle est la différence entre une similitude propre et une similitude impropre ?
2. Comment définit-on précisément une homothétie dans un espace euclidien ?
3. Pourquoi l'angle de rotation \( \theta \) est-il unique dans cette décomposition ?
4. Comment démontrer qu'une similitude préserve l'orientation ?
5. Comment généraliser cette décomposition dans des espaces à dimensions supérieures ?

**Conseil :** Pour une compréhension plus intuitive, visualisez cette décomposition en termes de mouvements géométriques simples (translation, dilatation, rotation).

Exercice 1.25. Factorisation des similitudes propres. Soit F une similitude propre. Choisissez votre point O préféré. Montrez qu’il existe une et une seule façon d’écrire F sous la forme (avec λ > 0) F=TOO′ ◦HO,λ◦RO,θ.

This advanced geometry problem focuses on the factorization of a proper similarity transformation F into three geometric transformations: translation, homothety, and rotation. Learn how to uniquely express F as F = T_{O O'} ◦ H_{O, λ} ◦ R_{O, θ}, with step-by-step explanations and theorems.

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