2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2を因数分解する

式 \( 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2 \) を因数分解しましょう。

### 手順 1: 変数ごとに整理する
まず、式を整理します：
\[
2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2
\]
変数 \( x \) と \( y \) を含む項を見てみると、この式は \( x^2 \), \( xy \), \( y^2 \), \( x \), \( y \), そして定数項を含んでいます。これは2次の多項式です。

### 手順 2: 因数分解を試みる
これを2つの二次式の積として書くために、以下の形に分解を考えます：
\[
(2x + ay + b)(x + cy + d)
\]
この形に展開して、元の式と係数を比較します。

\[
(2x + ay + b)(x + cy + d) = 2x^2 + (2c + a)xy + acy^2 + (2d + b)x + (ad + bc)y + bd
\]
これを元の式 \( 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2 \) と比較して、係数を一致させるために \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) を求めます。

#### \( 2x^2 \) の項から：そのまま。
#### \( 5xy \) の項から： \( 2c + a = 5 \)。
#### \( 3y^2 \) の項から：\( ac = 3 \)。
#### \( -3x \) の項から： \( 2d + b = -3 \)。
#### \( -5y \) の項から：\( ad + bc = -5 \)。
#### 定数項から：\( bd = -2 \)。

### 手順 3: 方程式を解く
まず、\( 2c + a = 5 \) と \( ac = 3 \) を解いて、さらに \( 2d + b = -3 \), \( ad + bc = -5 \), \( bd = -2 \) を組み合わせることで係数 \( a, b, c, d \) を特定します。

この結果、因数分解は以下のようになります：
\[
(2x + 3y + 2)(x + y - 1)
\]

### 結論
したがって、元の式 \( 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2 \) は次のように因数分解できます：
\[
(2x + 3y + 2)(x + y - 1)
\]

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ご質問や詳しい説明が必要でしたら、お知らせください！

### 関連質問:
1. どのようにして因数分解の形を推測するのですか？
2. 他のタイプの二次方程式も同様に因数分解できますか？
3. 展開すると元の式に戻ることをどう確認できますか？
4. 因数分解ができない場合はどう対処すべきですか？
5. 因数分解と平方完成の違いは何ですか？

### 一つのヒント:
因数分解が難しい場合は、共通因数をまず見つけるか、係数比較法を使って計算してみましょう。

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