Para expresar el número complejo $(1-i)^3(1+i)$ en forma rectangular, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Expandir $(1-i)^3$

Primero, calculamos $(1 - i)^3$ usando el binomio de Newton o directamente:

$(1 - i)^3 = (1 - i)(1 - i)(1 - i)$

Primero calculamos $(1 - i)^2$:

$(1 - i)^2 = (1 - i)(1 - i) = 1 - 2i + i^2$

Sabemos que $i^2 = -1$, así que:

$(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

Ahora multiplicamos $-2i$ por $(1 - i)$:

$(1 - i)^3 = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2$

Otra vez, sabemos que $i^2 = -1$, por lo que:

$(1 - i)^3 = -2i - 2 = -2 - 2i$

Paso 2: Multiplicar $(1 - i)^3$ por $(1 + i)$

Ahora multiplicamos $-2 - 2i$ por $(1 + i)$:

$(-2 - 2i)(1 + i) = -2(1 + i) - 2i(1 + i)$

Expandiendo:

$= -2 - 2i - 2i - 2i^2$

Nuevamente, $i^2 = -1$:

$= -2 - 2i - 2i + 2 = (-2 + 2) + (-2i - 2i)$

Simplificando:

$= 0 - 4i$

Resultado

El número complejo $(1 - i)^3(1 + i)$ en forma rectangular es $\boxed{-4i}$.

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¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

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8. ¿Cómo se podría resolver este problema usando la forma polar en vez de la forma rectangular?

Tip:

Recuerda que la multiplicación de números complejos implica sumar los ángulos y multiplicar las magnitudes cuando se usan en forma polar.