Ejercicio 3. Exprese en forma rectangular los siguientes números complejos:(1−i)3(1+i)

Para expresar el número complejo \((1-i)^3(1+i)\) en forma rectangular, seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Expandir \((1-i)^3\)
Primero, calculamos \((1 - i)^3\) usando el binomio de Newton o directamente:

\[
(1 - i)^3 = (1 - i)(1 - i)(1 - i)
\]

Primero calculamos \((1 - i)^2\):

\[
(1 - i)^2 = (1 - i)(1 - i) = 1 - 2i + i^2
\]

Sabemos que \(i^2 = -1\), así que:

\[
(1 - i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i
\]

Ahora multiplicamos \(-2i\) por \((1 - i)\):

\[
(1 - i)^3 = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2
\]

Otra vez, sabemos que \(i^2 = -1\), por lo que:

\[
(1 - i)^3 = -2i - 2 = -2 - 2i
\]

### Paso 2: Multiplicar \((1 - i)^3\) por \((1 + i)\)
Ahora multiplicamos \(-2 - 2i\) por \((1 + i)\):

\[
(-2 - 2i)(1 + i) = -2(1 + i) - 2i(1 + i)
\]

Expandiendo:

\[
= -2 - 2i - 2i - 2i^2
\]

Nuevamente, \(i^2 = -1\):

\[
= -2 - 2i - 2i + 2 = (-2 + 2) + (-2i - 2i)
\]

Simplificando:

\[
= 0 - 4i
\]

### Resultado
El número complejo \((1 - i)^3(1 + i)\) en forma rectangular es \(\boxed{-4i}\).

---

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica el binomio de Newton para expandir potencias de binomios?
2. ¿Qué significa la forma rectangular de un número complejo?
3. ¿Cómo se multiplica un número complejo por otro en forma rectangular?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica del resultado \(-4i\)?
5. ¿Cómo se pasa de forma rectangular a forma polar de un número complejo?
6. ¿Por qué \(i^2 = -1\) en la definición de números complejos?
7. ¿Qué propiedades tienen los números complejos al elevarlos a potencias?
8. ¿Cómo se podría resolver este problema usando la forma polar en vez de la forma rectangular?

### Tip:
Recuerda que la multiplicación de números complejos implica sumar los ángulos y multiplicar las magnitudes cuando se usan en forma polar.

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