Bien sûr ! Voici quelques exercices de trigonométrie corrigés, basés sur l'équation que tu as donnée, du style $\cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 1$.

Exercice 1 : Résolution de l'équation trigonométrique

Équation :
$\cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 1$

Correction :

1. Réécrire l'équation sous une forme plus utile :
   L'idée est de factoriser l'expression en utilisant une combinaison linéaire de sinus et de cosinus. Nous pouvons écrire cette équation sous la forme $R \cos(x - \alpha)$ avec $R$ et $\alpha$ à déterminer. Pour cela, il faut utiliser la formule trigonométrique de l'addition de l'angle : $R \cos(x - \alpha) = R (\cos(x) \cos(\alpha) + \sin(x) \sin(\alpha))$

2. Identifier $R$ et $\alpha$ :
   Comparons les coefficients :

   • $R \cos(\alpha) = 1$
   • $R \sin(\alpha) = \sqrt{3}$

   Il en résulte : $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{3}$

   L'équation devient donc : $2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

3. Résoudre l'équation obtenue : $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, donc : $x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{(avec } k \in \mathbb{Z})$

4. Solutions finales : $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Exercice 2 : Résolution d'une équation trigonométrique avec une constante

Équation : $2 \cos(x) - \sin(x) = 0$

Correction :

1. Réécrire l'équation : $2 \cos(x) = \sin(x)$

2. Diviser par $\cos(x)$ (en supposant que $\cos(x) \neq 0$) : $2 = \tan(x)$

3. Résoudre $\tan(x) = 2$ : $x = \arctan(2) + k\pi \quad \text{(avec } k \in \mathbb{Z})$

Exercice 3 : Résolution d'une équation trigonométrique complexe

Équation : $\cos(x) + 2 \sin(x) = 0$

Correction :

1. Réécrire l'équation : $\cos(x) = -2 \sin(x)$

2. Diviser par $\cos(x)$ (en supposant que $\cos(x) \neq 0$) : $1 = -2 \tan(x)$

3. Résoudre $\tan(x) = -\frac{1}{2}$ : $x = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + k\pi \quad \text{(avec } k \in \mathbb{Z})$

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Questions supplémentaires pour aller plus loin :

1. Comment vérifier que les solutions trouvées sont correctes ?
2. Quelle est la différence entre les solutions générales et les solutions particulières d'une équation trigonométrique ?
3. Peut-on résoudre une équation trigonométrique du type $a \cos(x) + b \sin(x) = c$ sans passer par la méthode de factorisation ?
4. Quelles sont les solutions d'une équation trigonométrique avec une condition supplémentaire, comme $x \in [0, 2\pi]$ ?
5. Comment utiliser les identités trigonométriques pour simplifier des expressions complexes avant de résoudre une équation trigonométrique ?

Astuce :
Lorsque tu rencontres une équation trigonométrique, essaie de réécrire les termes sous une forme plus simple, comme une combinaison de sinus et cosinus, pour faciliter la résolution.