Το ερώτημα αφορά την εξέταση της μονοτονίας των συναρτήσεων $f_1(x), f_2(x), f_3(x),$ και $f_4(x)$, όπου οι συναρτήσεις δίνονται ως εξής:

α) $f_1(x) = \frac{-x}{x+6}$

β) $f_2(x) = \frac{2x - 3}{3x + 2}$

γ) $f_3(x) = \sqrt{x^2 - 10}$

δ) $f_4(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$

Λύση

Για να εξετάσουμε τη μονοτονία κάθε συνάρτησης, πρέπει να βρούμε την παράγωγο κάθε συνάρτησης και να αναλύσουμε τα πρόσημα των παραγώγων. Αν η παράγωγος είναι θετική σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό το διάστημα. Αν είναι αρνητική, τότε είναι γνησίως φθίνουσα.

α) $f_1(x) = \frac{-x}{x+6}$

1. Βρίσκουμε την παράγωγο της $f_1(x)$: $f_1'(x) = \frac{(-1)(x+6) - (-x)(1)}{(x+6)^2} = \frac{-x - 6 + x}{(x+6)^2} = \frac{-6}{(x+6)^2}$

2. Η παράγωγος είναι πάντα αρνητική για $x \neq -6$, επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα για όλα τα $x \neq -6$.

β) $f_2(x) = \frac{2x - 3}{3x + 2}$

1. Βρίσκουμε την παράγωγο της $f_2(x)$: $f_2'(x) = \frac{(2)(3x + 2) - (2x - 3)(3)}{(3x + 2)^2} = \frac{6x + 4 - (6x - 9)}{(3x + 2)^2} = \frac{13}{(3x + 2)^2}$

2. Η παράγωγος είναι θετική για όλα τα $x \neq -\frac{2}{3}$, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για $x \neq -\frac{2}{3}$.

γ) $f_3(x) = \sqrt{x^2 - 10}$

1. Ορίζεται για $x^2 - 10 \geq 0 \Rightarrow x \geq \sqrt{10}$ ή $x \leq -\sqrt{10}$.

2. Βρίσκουμε την παράγωγο: $f_3'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 10}}$

3. Ανάλογα με το πρόσημο του $x$, η παράγωγος μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Η συνάρτηση είναι αύξουσα για $x > 0$ και φθίνουσα για $x < 0$.

δ) $f_4(x) = x + \sqrt{1 - x^2}$

1. Ορίζεται για $1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1$.

2. Βρίσκουμε την παράγωγο: $f_4'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\sqrt{1 - x^2} - x}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. Η παράγωγος μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω για την εύρεση των διαστημάτων μονοτονίας, αλλά χρειάζεται επιπλέον υπολογισμός για ακριβές συμπέρασμα.

Χρειάζεστε λεπτομέρειες ή κάποια απορία;

Σχετικές Ερωτήσεις

1. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σημεία κρίσιμα σημεία για τη μονοτονία;
2. Ποια είναι η διαδικασία για την εύρεση των ακροτάτων;
3. Ποια είναι η σημασία των διαστημάτων αύξησης και μείωσης;
4. Πώς επηρεάζει η παράγωγος την κυρτότητα μιας συνάρτησης;
5. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα όρια στη μελέτη της μονοτονίας;

Συμβουλή

Η μονοτονία μιας συνάρτησης συνδέεται άμεσα με την παράγωγό της.