https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1730579997205mu2wfm2i.jpg

Το ερώτημα αφορά την εξέταση της μονοτονίας των συναρτήσεων \( f_1(x), f_2(x), f_3(x), \) και \( f_4(x) \), όπου οι συναρτήσεις δίνονται ως εξής:

α) \( f_1(x) = \frac{-x}{x+6} \)

β) \( f_2(x) = \frac{2x - 3}{3x + 2} \)

γ) \( f_3(x) = \sqrt{x^2 - 10} \)

δ) \( f_4(x) = x + \sqrt{1 - x^2} \)

### Λύση

Για να εξετάσουμε τη μονοτονία κάθε συνάρτησης, πρέπει να βρούμε την παράγωγο κάθε συνάρτησης και να αναλύσουμε τα πρόσημα των παραγώγων. Αν η παράγωγος είναι θετική σε ένα διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό το διάστημα. Αν είναι αρνητική, τότε είναι γνησίως φθίνουσα.

---

#### α) \( f_1(x) = \frac{-x}{x+6} \)

1. Βρίσκουμε την παράγωγο της \( f_1(x) \):
   \[
   f_1'(x) = \frac{(-1)(x+6) - (-x)(1)}{(x+6)^2} = \frac{-x - 6 + x}{(x+6)^2} = \frac{-6}{(x+6)^2}
   \]

2. Η παράγωγος είναι πάντα αρνητική για \( x \neq -6 \), επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα για όλα τα \( x \neq -6 \).

---

#### β) \( f_2(x) = \frac{2x - 3}{3x + 2} \)

1. Βρίσκουμε την παράγωγο της \( f_2(x) \):
   \[
   f_2'(x) = \frac{(2)(3x + 2) - (2x - 3)(3)}{(3x + 2)^2} = \frac{6x + 4 - (6x - 9)}{(3x + 2)^2} = \frac{13}{(3x + 2)^2}
   \]

2. Η παράγωγος είναι θετική για όλα τα \( x \neq -\frac{2}{3} \), άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για \( x \neq -\frac{2}{3} \).

---

#### γ) \( f_3(x) = \sqrt{x^2 - 10} \)

1. Ορίζεται για \( x^2 - 10 \geq 0 \Rightarrow x \geq \sqrt{10} \) ή \( x \leq -\sqrt{10} \).

2. Βρίσκουμε την παράγωγο:
   \[
   f_3'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 10}}
   \]

3. Ανάλογα με το πρόσημο του \( x \), η παράγωγος μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Η συνάρτηση είναι αύξουσα για \( x > 0 \) και φθίνουσα για \( x < 0 \).

---

#### δ) \( f_4(x) = x + \sqrt{1 - x^2} \)

1. Ορίζεται για \( 1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 \).

2. Βρίσκουμε την παράγωγο:
   \[
   f_4'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{\sqrt{1 - x^2} - x}{\sqrt{1 - x^2}}
   \]

3. Η παράγωγος μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω για την εύρεση των διαστημάτων μονοτονίας, αλλά χρειάζεται επιπλέον υπολογισμός για ακριβές συμπέρασμα.

---

Χρειάζεστε λεπτομέρειες ή κάποια απορία; 

### Σχετικές Ερωτήσεις
1. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σημεία κρίσιμα σημεία για τη μονοτονία;
2. Ποια είναι η διαδικασία για την εύρεση των ακροτάτων;
3. Ποια είναι η σημασία των διαστημάτων αύξησης και μείωσης;
4. Πώς επηρεάζει η παράγωγος την κυρτότητα μιας συνάρτησης;
5. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα όρια στη μελέτη της μονοτονίας;

### Συμβουλή
Η μονοτονία μιας συνάρτησης συνδέεται άμεσα με την παράγωγό της.

Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: f₁(x) = -x / (x + 6), f₂(x) = (2x - 3) / (3x + 2), f₃(x) = √(x² - 10), f₄(x) = x + √(1 - x²)

A detailed examination of the monotonicity of functions f₁(x) = -x / (x + 6), f₂(x) = (2x - 3) / (3x + 2), f₃(x) = √(x² - 10), and f₄(x) = x + √(1 - x²). This solution explores concepts such as derivatives and monotonicity, and uses the quotient rule and derivative of square root functions. Ideal for advanced high school students (Grades 11-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation