برای حل این سوال، ابتدا متن و نمادهای ریاضی نوشته‌شده در تصویر را به صورت دقیق تفسیر می‌کنم و سپس مراحل حل هر انتگرال را ارائه می‌دهم.

1. انتگرال اول:

$\int_{-۳}^{۳} \int_{۰}^{\pi/۲} \left(y + y^۲ \cos x \right) dx \, dy$

2. انتگرال دوم:

این قسمت به نظر می‌رسد اشتباه تایپی دارد (عبارت "Sex+y" نوشته شده است). لطفاً این بخش را توضیح دهید تا درست تفسیر کنم.

3. انتگرال سوم:

$\int_{۰}^{۱} \int_{x}^{۱} e^{x/y} \, dy \, dx$

حالا شروع به حل این انتگرال‌ها می‌کنم. sympy import symbols, integrate, cos, exp, pi

Define variables

x, y = symbols('x y')

Integral 1: ∬ (y + y^2 * cos(x)) dx dy with bounds

x from 0 to π/2, y from -3 to 3

integral_1 = integrate(integrate(y + y**2 * cos(x), (x, 0, pi/2)), (y, -3, 3))

Integral 3: ∬ exp(x/y) dy dx with bounds

y from x to 1, x from 0 to 1

integral_3 = integrate(integrate(exp(x/y), (y, x, 1)), (x, 0, 1))

integral_1, integral_3### نتایج انتگرال‌ها:

1. انتگرال اول: $\int_{-۳}^{۳} \int_{۰}^{\pi/۲} \left(y + y^۲ \cos x \right) dx \, dy = ۱۸$

2. انتگرال سوم: $\int_{۰}^{۱} \int_{x}^{۱} e^{x/y} \, dy \, dx = -\frac{1}{2} + \frac{e}{2}$

برای انتگرال دوم، لطفاً تصحیح کنید یا جزئیات بیشتری ارائه دهید. آیا توضیح یا جزئیات بیشتری در رابطه با این پاسخ‌ها نیاز دارید؟

سوالات مرتبط:

1. اگر انتگرال اول را با جابجا کردن ترتیب $dx$ و $dy$ حل کنیم، آیا نتیجه تغییری می‌کند؟
2. انتگرال سوم از کدام نوع تغییر متغیر می‌تواند ساده‌تر حل شود؟
3. چرا در انتگرال دوم نماد "Sex" آورده شده؟ آیا این نماد یا متن اشتباه است؟
4. آیا می‌توان از تکنیک‌های عددی برای حل انتگرال سوم استفاده کرد؟
5. آیا برای انتگرال‌های سه‌گانه، قواعد مشابهی استفاده می‌شود؟

نکته: همواره بررسی صحت نمادها و متن سوال قبل از حل اهمیت دارد.