Schreiben Sie e^(−179iπ)
 in kartesischer Form:

Bitte erkläre so Kleinschrittig wie möglich

Um \( e^{-179i\pi} \) in kartesischer Form darzustellen, verwenden wir die Euler'sche Formel:

\[
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)
\]

Hierbei ist \( \theta = -179\pi \).

### Schritt 1: Bestimme den Winkel

Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, können wir \( -179\pi \) auf einen Winkel im Bereich von \( 0 \) bis \( 2\pi \) reduzieren. Dazu verwenden wir:

\[
-179\pi \mod 2\pi
\]

### Schritt 2: Berechne den Modulus

Um den Winkel in den Bereich \( [0, 2\pi) \) zu bringen, rechnen wir:

\[
-179\pi + 180\pi = \pi
\]

Das bedeutet, dass \( -179\pi \) äquivalent zu \( \pi \) ist.

### Schritt 3: Setze den Winkel in die Euler'sche Formel ein

Nun setzen wir \( \theta = \pi \) in die Euler'sche Formel ein:

\[
e^{-\pi i} = \cos(\pi) + i\sin(\pi)
\]

### Schritt 4: Berechne die trigonometrischen Funktionen

- \(\cos(\pi) = -1\)
- \(\sin(\pi) = 0\)

### Schritt 5: Fasse alles zusammen

Setzen wir die Ergebnisse zusammen:

\[
e^{-179i\pi} = -1 + 0i
\]

### Endergebnis

In kartesischer Form ist:

\[
e^{-179i\pi} = -1
\]

Möchtest du weitere Details zu einem bestimmten Schritt oder hast du Fragen? Hier sind einige mögliche Folgefragen:

1. Was sind die Eigenschaften der Euler'schen Formel?
2. Wie kann ich andere komplexe Exponentialfunktionen umwandeln?
3. Warum sind trigonometrische Funktionen periodisch?
4. Was passiert, wenn der Winkel nicht im Bereich \( [0, 2\pi) \) liegt?
5. Welche Anwendungen hat die komplexe Exponentialfunktion in der Mathematik?

**Tipp:** Um Winkel in verschiedenen Bereichen zu bestimmen, kann man immer \( 2\pi \) oder \( \pi \) addieren oder subtrahieren, bis der Winkel im gewünschten Bereich liegt.

Schreiben Sie e^(−179iπ) in kartesischer Form: Bitte erkläre so Kleinschrittig wie möglich

Explore how to convert e^(-179iπ) into Cartesian form using Euler's formula with a step-by-step explanation. This problem delves into complex analysis, periodic functions, and their applications, suitable for high school students.

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