Die Gleichung $e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$ ist bekannt als die Euler'sche Formel. Die Herleitung dieser Formel erfolgt in der Regel mit Hilfe der Taylor-Reihen von $e^x$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$. Hier zeige ich die Schritte:

Schritt 1: Taylor-Reihen für $e^x$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$

• Die Taylor-Reihe für die Exponentialfunktion $e^x$ um $x = 0$ lautet: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

• Die Taylor-Reihe für den Kosinus $\cos(x)$ lautet: $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

• Die Taylor-Reihe für den Sinus $\sin(x)$ lautet: $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

Schritt 2: Setzen von $x = i\varphi$ in die Exponentialreihe

Nun setzen wir $x = i\varphi$ in die Taylor-Reihe für $e^x$ ein: $e^{i\varphi} = 1 + i\varphi + \frac{(i\varphi)^2}{2!} + \frac{(i\varphi)^3}{3!} + \frac{(i\varphi)^4}{4!} + \dots$ Da $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, und $i^4 = 1$, erhalten wir: $e^{i\varphi} = 1 + i\varphi - \frac{\varphi^2}{2!} - i\frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + i\frac{\varphi^5}{5!} - \dots$

Schritt 3: Gruppieren der realen und der imaginären Teile

Nun ordnen wir die Terme in reale und imaginäre Teile:

• Der reale Teil ist: $1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - \dots = \cos(\varphi)$
• Der imaginäre Teil ist: $i\left( \varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} - \dots \right) = i\sin(\varphi)$

Schritt 4: Zusammenfassung

Damit ergibt sich: $e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$

Fazit

Die Euler'sche Formel $e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)$ wurde aus den Taylor-Reihen der Exponential-, Sinus- und Kosinusfunktionen abgeleitet.

Möchtest du weitere Details zu einem der Schritte oder hast du Fragen zur Anwendung dieser Formel?

Erweiterte Fragen:

1. Wie lässt sich die Euler'sche Formel zur Ableitung der Identität $e^{i\pi} + 1 = 0$ verwenden?
2. Welche Bedeutung hat die Euler'sche Formel in der Quantenmechanik?
3. Wie wird die Euler'sche Formel in der Fourier-Analyse verwendet?
4. Was passiert, wenn wir $\varphi$ durch komplexe Zahlen ersetzen? Wie verändert sich die Formel?
5. Was ist der Zusammenhang zwischen der Euler'schen Formel und der Darstellung von Rotationen in der Mathematik?

Tipp:

Eine gute Methode, die Euler'sche Formel zu verstehen, ist, sie in Anwendungen wie der Drehung von Vektoren im komplexen Raum zu visualisieren.