L'intégrale que vous avez mentionnée est de la forme :

$I = \int_0^3 \frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1} \, dx$

Nous devons analyser la nature de cette intégrale impropre. Examinons les points clés.

1. Comportement de la fonction au voisinage de $x = 0$

Nous devons d'abord observer le comportement de la fonction $\frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1}$ lorsque $x \to 0$. En effet, l'intégrale pourrait devenir impropre si la fonction se comporte mal à proximité de 0.

Développement en série de Taylor autour de $x = 0$:

• $\sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ lorsque $x \to 0$
• $e^{x^2} \approx 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$ lorsque $x \to 0$

Ainsi, $e^{x^2} - 1 \approx x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$. En divisant, on obtient :

$\frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1} \approx \frac{x - \frac{x^3}{6}}{x^2 + \frac{x^4}{2}} \approx \frac{1}{x} \quad \text{lorsque} \quad x \to 0$

Cela montre que la fonction $\frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1}$ a un comportement asymptotique comme $\frac{1}{x}$ près de $x = 0$.

2. Comportement au voisinage de $x = 3$

Lorsque $x$ devient grand (approchant 3 dans ce cas), la fonction $e^{x^2}$ croît rapidement, donc $e^{x^2} - 1$ devient très grand. Par conséquent, la fraction $\frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1}$ tend rapidement vers 0 lorsque $x$ approche de 3. Il n'y a donc pas de problème de divergence à ce niveau.

3. Conclusion sur la nature de l'intégrale

• Comportement près de $x = 0$ : La fonction se comporte comme $\frac{1}{x}$, ce qui implique que l'intégrale de $0$ à une petite valeur pourrait diverger.

  En effet, l'intégrale $\int_0^\epsilon \frac{1}{x} dx$ diverge logarithmiquement. Donc, l'intégrale pourrait être impropre à $x = 0$.

• Comportement près de $x = 3$ : La fonction se comporte bien et n'entraîne pas de divergence à $x = 3$.

4. Vérification de la convergence

Nous devons examiner plus précisément la convergence de l'intégrale près de 0. Pour cela, on peut tester la convergence de l'intégrale $\int_0^\epsilon \frac{1}{x} dx$. En effet, cette intégrale diverge logarithmiquement, ce qui signifie que l'intégrale de départ diverge également.

Conclusion :

L'intégrale est impropre et diverge à $x = 0$ en raison du comportement asymptotique de $\frac{\sin(x)}{e^{x^2} - 1}$ comme $\frac{1}{x}$ près de 0.

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Souhaitez-vous plus de détails sur la convergence ou d'autres exemples de ce type d'intégrale ?

Voici quelques questions à explorer :

1. Comment analyser d'autres intégrales impropres pour détecter la divergence ?
2. Quelle est l'importance de la série de Taylor pour étudier le comportement des fonctions autour des points singuliers ?
3. Quelle est la différence entre une divergence logarithmique et une divergence plus forte comme $\frac{1}{x^2}$ ?
4. Comment traiter les intégrales impropres qui divergent sur des intervalles plus larges ?
5. Quelles méthodes peuvent être utilisées pour rendre cette intégrale convergente ?

Tip : Toujours tester le comportement de la fonction près des points où elle pourrait être singulière avant d'essayer de calculer l'intégrale.