Math Problem Statement
зробивши нулі в 1-му рядку:
4 -1 10 -5
0 -2 -2 -3
3 14 10 -10
4 1 1 -2
Solution
Щоб зробити нулі в першому рядку, ми можемо скористатися методом елементарних перетворень над рядками. Початкову матрицю записуємо:
4 & -1 & 10 & -5 \\ 0 & -2 & -2 & -3 \\ 3 & 14 & 10 & -10 \\ 4 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 1. **Перетворюємо перший елемент першого рядка в 1**: Для цього поділимо весь перший рядок на 4: $$R_1 = \frac{1}{4} R_1$$ Отримаємо: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 2.5 & -\frac{5}{4} \\ 0 & -2 & -2 & -3 \\ 3 & 14 & 10 & -10 \\ 4 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. **Перетворюємо перший елемент третього рядка в 0**: Від третього рядка віднімаємо перший рядок, помножений на 3: $$R_3 = R_3 - 3R_1$$ Розрахунок: $$R_3 = \begin{pmatrix} 3 & 14 & 10 & -10 \end{pmatrix} - 3 \times \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 2.5 & -\frac{5}{4} \end{pmatrix}$$ $$R_3 = \begin{pmatrix} 3 & 14 & 10 & -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -\frac{3}{4} & 7.5 & -\frac{15}{4} \end{pmatrix}$$ Отримаємо: $$R_3 = \begin{pmatrix} 0 & 14.75 & 2.5 & -\frac{25}{4} \end{pmatrix}$$ 3. **Перетворюємо перший елемент четвертого рядка в 0**: Від четвертого рядка віднімаємо перший рядок, помножений на 4: $$R_4 = R_4 - 4R_1$$ Розрахунок: $$R_4 = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} - 4 \times \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 2.5 & -\frac{5}{4} \end{pmatrix}$$ $$R_4 = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -1 & 10 & -5 \end{pmatrix}$$ Отримаємо: $$R_4 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -9 & 3 \end{pmatrix}$$ Отже, матриця після перетворення першого стовпця виглядатиме так: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & 2.5 & -\frac{5}{4} \\ 0 & -2 & -2 & -3 \\ 0 & 14.75 & 2.5 & -\frac{25}{4} \\ 0 & 2 & -9 & 3 \end{pmatrix}$$ Чи хочете ви додаткові пояснення або маєте запитання? **Питання для поглиблення**: 1. Як виконувати метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь? 2. Як застосовувати елементарні перетворення над рядками матриці? 3. Як проводити обчислення, коли матриця містить дробові значення? 4. Які умови повинні бути виконані, щоб матриця була оберненою? 5. Як знайти ранг матриці за допомогою методу Гауса? **Порада**: Використовуйте дроби замість десяткових чисел для точних обчислень, щоб уникнути похибок.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Elementary Row Operations
Matrices
Formulas
Row Reduction Formula: R_k = R_k - cR_i
Division of Row by Scalar: R_1 = (1/a) * R_1
Theorems
Gaussian Elimination
Matrix Row Echelon Form
Suitable Grade Level
Grades 9-12
Related Recommendation
How to Transform 23 to 0 in the Fourth Row Using Matrix Row Operations
Continue the Matrix Row Reduction Process with Gaussian Elimination
Row Reduction to RREF of a 3x4 Matrix
Elementary Row Operations on Augmented Matrix [1 1 1 : 1 0 0] [2 3 -1 : 0 1 0] [-4 7 4 : 0 0 1]
Converting a Matrix to Row Echelon Form Using Elementary Row Operations