$$  $$Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = $$ \ln\left(\frac{x+1}{x+5}\right) $$

Um den Definitionsbereich der Funktion $ f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x+5}\right) $ zu bestimmen, müssen wir die Bedingung für den natürlichen Logarithmus beachten. Der Ausdruck, der im Argument des Logarithmus steht, muss **streng positiv** sein, d.h.

\[
\frac{x+1}{x+5} > 0.
\]

Nun bestimmen wir, wann dieser Bruch positiv ist. Dazu betrachten wir die Nullstellen des Zählers und des Nenners:

1. Zähler: $ x + 1 = 0 $ ergibt $ x = -1 $,
2. Nenner: $ x + 5 = 0 $ ergibt $ x = -5 $.

Der Bruch ändert seine Vorzeichen an diesen beiden Stellen, also müssen wir die Vorzeichen in den Intervallen zwischen diesen Werten untersuchen:

### Vorzeichenanalyse der Funktion $ \frac{x+1}{x+5} $

- Für $ x < -5 $ sind sowohl der Zähler $ (x+1) $ als auch der Nenner $ (x+5) $ negativ, sodass der Bruch **positiv** ist.
- Für $ -5 < x < -1 $ ist der Zähler $ (x+1) $ negativ und der Nenner $ (x+5) $ positiv, sodass der Bruch **negativ** ist.
- Für $ x > -1 $ sind sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv, sodass der Bruch **positiv** ist.

### Einschränkungen:

- Der Wert $ x = -5 $ ist nicht erlaubt, da der Nenner null wird (Division durch null ist nicht definiert).
- Der Wert $ x = -1 $ ist nicht erlaubt, da an dieser Stelle der Logarithmus von null definiert wäre, was ebenfalls nicht möglich ist.

### Ergebnis:

Der Definitionsbereich der Funktion ist daher:

\[
D_f = (-\infty, -5) \cup (-1, \infty).
\]

Das bedeutet, dass $ x $ außerhalb der Intervalle $ (-5, -1) $ liegen muss.

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**Tipp:** Achte bei Funktionen mit Logarithmen immer darauf, dass das Argument des Logarithmus strikt positiv ist!

Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = ln((x+1)/(x+5))

Discover how to find the domain of the logarithmic function f(x) = ln((x+1)/(x+5)) by analyzing the sign of the rational expression. Learn about logarithmic domain restrictions and the sign analysis technique. Suitable for students in Grades 10-12.

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