montrer que  4**(n)+15*n-1 divisible par 9

Pour démontrer que \( 4^n + 15n - 1 \) est divisible par 9 pour tout \( n \), nous allons utiliser **le raisonnement par récurrence**.

### 1. Initialisation
Commençons par vérifier si l'énoncé est vrai pour \( n = 1 \).

Pour \( n = 1 \), on a :
\[
4^1 + 15(1) - 1 = 4 + 15 - 1 = 18.
\]
Et 18 est bien divisible par 9.

Donc, l'énoncé est vrai pour \( n = 1 \).

### 2. Hypothèse de récurrence
Supposons que l'énoncé soit vrai pour un certain entier \( k \), c'est-à-dire que :
\[
4^k + 15k - 1 \text{ est divisible par 9}.
\]
Cela signifie qu'il existe un entier \( m \) tel que :
\[
4^k + 15k - 1 = 9m.
\]

### 3. Pas de récurrence
Montrons que l'énoncé est également vrai pour \( k+1 \), c'est-à-dire que :
\[
4^{k+1} + 15(k+1) - 1 \text{ est divisible par 9}.
\]
Calculons :
\[
4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15(k+1) - 1.
\]
Développons :
\[
= 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k - 1 + 15.
\]
Par l'hypothèse de récurrence, nous savons que \( 4^k + 15k - 1 = 9m \). Ainsi :
\[
4 \cdot 4^k + 15k - 1 + 15 = 4 \cdot (9m + 1) + 15.
\]
Développons :
\[
= 4 \cdot 9m + 4 + 15 = 36m + 19.
\]
Nous devons montrer que \( 36m + 19 \) est divisible par 9. Remarquons que :
\[
36m + 19 = 9(4m + 2).
\]
Cela montre que \( 36m + 19 \) est bien divisible par 9.

### Conclusion
Nous avons montré que si l'énoncé est vrai pour \( n = k \), alors il est vrai pour \( n = k+1 \). De plus, nous avons vérifié que l'énoncé est vrai pour \( n = 1 \). Par conséquent, par récurrence, \( 4^n + 15n - 1 \) est divisible par 9 pour tout \( n \geq 1 \).

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions associées :
1. Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?
2. Comment fonctionne la divisibilité par un entier ?
3. Peut-on utiliser un autre raisonnement pour démontrer cette divisibilité ?
4. Comment vérifier la divisibilité pour une expression modulaire ?
5. Existe-t-il d'autres théorèmes sur la divisibilité intéressants ?

**Astuce** : Lors d'une démonstration par récurrence, la base (initialisation) et l'étape de récurrence doivent être toutes les deux vérifiées avec soin.

montrer que 4**(n)+15*n-1 divisible par 9

This problem demonstrates how to prove that the expression 4^n + 15n - 1 is divisible by 9 for all values of n using mathematical induction. Explore key concepts like divisibility rules and the principle of induction, ideal for Grades 10-12.

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