Рассмотрим ряд с общим членом, заданным как:

$a(n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{5n-1} + \frac{1}{5n}$

Чтобы исследовать сходимость этого ряда, оценим поведение общего члена $a(n)$ при больших $n$.

Приближенное выражение для $a(n)$

Запишем $a(n)$ как сумму:

$a(n) = \sum_{k=n}^{5n} \frac{1}{k}$

Это сумма гармонических чисел, которая может быть приближена через интеграл:

$\sum_{k=n}^{5n} \frac{1}{k} \approx \int_n^{5n} \frac{1}{x} \, dx = \ln(5n) - \ln(n) = \ln 5$

Таким образом, для достаточно больших $n$:

$a(n) \approx \ln 5$

Исследование сходимости ряда

Теперь рассмотрим ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} a(n)$

Так как $a(n) \approx \ln 5$ — это постоянная величина, то ряд можно приближенно записать как:

$\sum_{n=1}^{\infty} \ln 5$

Этот ряд является дивергентным, поскольку сумма постоянной величины на бесконечном промежутке расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

Вывод

Ряд с общим членом $a(n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{5n}$ не сходится, так как его общий член асимптотически ведет себя как константа $\ln 5$, что приводит к расходимости ряда.

Хочешь получить дополнительные разъяснения или задать вопросы?

Вот несколько вопросов для дальнейшего обсуждения:

1. Как использовать интегралы для приближенной оценки суммы ряда?
2. Что такое гармонический ряд и как он связан с исследованием сходимости?
3. Какие существуют методы для исследования сходимости сложных рядов?
4. Как влияют пределы суммы на поведение рядов?
5. Что произойдет, если в данном ряде изменить коэффициенты в сумме?

Совет: При анализе сходимости ряда, приближение суммы с использованием интегралов часто упрощает задачу.