Math Problem Statement

X დისკრეტული შემთხვევითი სიდიდის განაწილების კანონი მოცემულია ცხრილით. x 1 3 b 4 P X x ( ) = 0,1 0,2 a 0,3 იპოვეთ a b + , თუ ცნობილია, რომ X სიდიდის მათემატიკური ლოდინი 3,3-ის ტოლია.

Solution

მოცემულია, რომ XX არის დისკრეტული შემთხვევითი სიდიდე, რომლის განაწილების კანონი მოცემულია ცხრილით. ვიცით, რომ:

P(X=1)=0.1,P(X=3)=0.2,P(X=b)=a,P(X=4)=0.3.P(X = 1) = 0.1, \quad P(X = 3) = 0.2, \quad P(X = b) = a, \quad P(X = 4) = 0.3.

რადგან XX-ის მათემატიკური ლოდინი E(X)=3.3\mathbb{E}(X) = 3.3-ია, ჩვენ უნდა მოვიძიოთ a+ba + b-ს მნიშვნელობა.

1. გამოვიყენოთ მახასიათებელი თვისებები:

მათემატიკური ლოდინი (მათემატიკური მოლოდინი) დეფინირებულია როგორც:

E(X)=xxP(X=x).\mathbb{E}(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x).

განსაზღვრულია:

E(X)=1P(X=1)+3P(X=3)+bP(X=b)+4P(X=4).\mathbb{E}(X) = 1 \cdot P(X = 1) + 3 \cdot P(X = 3) + b \cdot P(X = b) + 4 \cdot P(X = 4).

გაცნობიერებული გვაქვს:

E(X)=10.1+30.2+ba+40.3.\mathbb{E}(X) = 1 \cdot 0.1 + 3 \cdot 0.2 + b \cdot a + 4 \cdot 0.3.

ამ მომენტში E(X)=3.3\mathbb{E}(X) = 3.3, ამიტომ გვაქვს:

3.3=10.1+30.2+ba+40.3.3.3 = 1 \cdot 0.1 + 3 \cdot 0.2 + b \cdot a + 4 \cdot 0.3.

გამოიყვანოთ შედეგი:

3.3=0.1+0.6+ba+1.2,3.3 = 0.1 + 0.6 + b \cdot a + 1.2,

3.3=1.9+ba.3.3 = 1.9 + b \cdot a.

ამით მივიღებთ:

ba=3.31.9=1.4.b \cdot a = 3.3 - 1.9 = 1.4.

2. სრული ალბათობის ჯამი:

მოცემულია, რომ XX-ის განაწილება უნდა იყოს ნორმალიზებული, ანუ:

P(X=1)+P(X=3)+P(X=b)+P(X=4)=1.P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = b) + P(X = 4) = 1.

ამას ნიშნავს:

0.1+0.2+a+0.3=1.0.1 + 0.2 + a + 0.3 = 1.

ამისგან:

a=10.6=0.4.a = 1 - 0.6 = 0.4.

3. მოძებნოთ bb-ის მნიშვნელობა:

ახლა, ჩვენ გვაქვს a=0.4a = 0.4 და ba=1.4b \cdot a = 1.4, მაშინ:

b0.4=1.4,b \cdot 0.4 = 1.4,

b=1.40.4=3.5.b = \frac{1.4}{0.4} = 3.5.

პასუხი:

a=0.4,b=3.5.a = 0.4, \quad b = 3.5.

ამიტომ:

a+b=0.4+3.5=3.9.a + b = 0.4 + 3.5 = 3.9.

შეკითხვები:

  1. რა არის მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი სიდიდის?
  2. როგორ უნდა გამოთვალო შემთხვევითი სიდიდის განაწილების კანონი მათემატიკური მოლოდინის გამოყენებით?
  3. რა არის შემთხვევითი სიდიდის ნორმალიზაციის კანონი?
  4. როგორ უნდა გამოვიყენოთ ალგებრული გამოსახულებები დისკრეტული შემთხვევითი სიდიდეებისათვის?
  5. რა ხდება, როდესაც მათემატიკური მოლოდინი არ არის ნორმალიზებული?

რჩევა:

გადაწყვიტეთ გამოთვლები ერთდროულად, რომ ამოცანა უფრო მარტივი გახდეს.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability Distribution
Expected Value
Discrete Random Variables

Formulas

Mathematical Expectation: E(X) = Σ x * P(X = x)
Normalization condition: Σ P(X = x) = 1

Theorems

Law of Total Probability
Expected Value of a Discrete Random Variable

Suitable Grade Level

Grades 10-12