Aby znaleźć kierownice elipsy opisanej równaniem $16x^2 + 25y^2 = 400$, musimy najpierw przeprowadzić kilka kluczowych kroków. Zacznijmy od przekształcenia równania do standardowej postaci elipsy.

---

Krok 1: Przekształcenie równania elipsy

Podzielmy równanie przez 400, aby uzyskać standardową postać elipsy: $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$ Uprośćmy ułamki: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ Jest to równanie elipsy w standardowej postaci: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ gdzie: $a^2 = 25 \quad \text{oraz} \quad b^2 = 16.$

Zatem: $a = 5 \quad \text{oraz} \quad b = 4.$

Ponieważ $a^2 > b^2$, jest to elipsa pozioma. Główna oś elipsy leży wzdłuż osi $x$.

---

Krok 2: Obliczenie mimośrodu elipsy ($e$)

Mimośród elipsy ($e$) jest zdefiniowany jako: $e = \frac{c}{a},$ gdzie: $c = \sqrt{a^2 - b^2}.$

Podstawmy wartości: $c = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3.$

Zatem: $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}.$

---

Krok 3: Wyznaczenie kierownic elipsy

Kierownice elipsy są równoległe do krótszej osi (osi $y$) i znajdują się w odległości $\frac{a}{e}$ od środka elipsy, wzdłuż osi $x$.

Obliczmy odległość: $\frac{a}{e} = \frac{5}{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot 5}{3} = \frac{25}{3}.$

Zatem kierownice elipsy są opisane równaniami: $x = -\frac{25}{3} \quad \text{oraz} \quad x = \frac{25}{3}.$

---

Odpowiedź:

Prawidłowa odpowiedź to: $x = -\frac{25}{3} \quad \text{oraz} \quad x = \frac{25}{3}.$

---

Czy masz pytania lub chcesz szczegółowe wyjaśnienia?

Oto 5 powiązanych pytań, które mogą Cię zainteresować:

1. Jak znaleźć kierownice elipsy, gdy $b^2 > a^2$?
2. Jak wyznaczyć równanie elipsy na podstawie jej ognisk i półosi?
3. Czym różni się mimośród elipsy od paraboli lub hiperboli?
4. W jaki sposób obliczyć pole powierzchni elipsy?
5. Jak znaleźć równanie stycznej do elipsy w zadanym punkcie?

Wskazówka: Pamiętaj, że w przypadku elips poziomych główna oś zawsze leży wzdłuż osi $x$, co wpływa na położenie kierownic.