Untuk menyelesaikan turunan dari fungsi yang diberikan:

$y = x^4 \cdot \tan^{-1} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right)$

kita akan menggunakan aturan turunan produk, aturan rantai, serta turunan fungsi invers trigonometri.

Langkah 1: Tentukan turunan dari komponen-komponen

Misalkan: $y = u \cdot v$ dengan:

• $u = x^4$
• $v = \tan^{-1} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right)$

Maka turunan dari $y$ dengan aturan turunan produk adalah: $y' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Turunan $u = x^4$

Turunan $u$ terhadap $x$ adalah: $u' = 4x^3$

Turunan $v = \tan^{-1} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right)$

Untuk menurunkan $v$, kita gunakan aturan rantai pada fungsi $\tan^{-1}(z)$ dengan $z = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$.

1. Turunan dari $\tan^{-1}(z)$ terhadap $z$ adalah: $\frac{d}{dz} \tan^{-1}(z) = \frac{1}{1 + z^2}$

2. Turunan dari $z = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$ terhadap $x$:

   Gunakan aturan turunan fungsi rasional: $z' = \frac{(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x) - (\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x)}{(\sin x - \cos x)^2}$

   Hitung setiap bagian dari pecahan ini:

   • $(\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x) = -(\sin x - \cos x)^2$
   • $(\sin x + \cos x)(\cos x + \sin x) = (\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x) = 1 + \sin 2x$

   Maka: [ z' = \frac{- (\sin x - \cos x)^2 - (1 + \sin 2x