Um die Funktion $f(x) = (7x^3 + 5)^{(3x^2 - 1)}$ abzuleiten, verwenden wir die Produktregel und die Kettenregel. Die Funktion ist eine Potenz, bei der der Exponent selbst eine Funktion von $x$ ist, was die Anwendung der logarithmischen Differentiation oder eine direkte Anwendung der Kettenregel erfordert.

Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. Logarithmische Differentiation: Da der Exponent $3x^2 - 1$ eine Funktion ist, wenden wir den natürlichen Logarithmus an, um die Differentiation zu vereinfachen.

   Nehmen wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung: $y = (7x^3 + 5)^{(3x^2 - 1)}$ $\ln(y) = \ln\left( (7x^3 + 5)^{(3x^2 - 1)} \right)$ Das vereinfacht sich zu: $\ln(y) = (3x^2 - 1) \cdot \ln(7x^3 + 5)$

2. Ableitung beider Seiten: Jetzt leiten wir beide Seiten nach $x$ ab. Auf der linken Seite wenden wir die Kettenregel an (Ableitung von $\ln(y)$) und auf der rechten Seite die Produktregel an.

   Die Ableitung der linken Seite: $\frac{d}{dx}[\ln(y)] = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$

   Die Ableitung der rechten Seite (Produktregel): $\frac{d}{dx} \left[(3x^2 - 1) \cdot \ln(7x^3 + 5)\right]$ Anwenden der Produktregel: [ \frac{d}{dx}[(3x^2 - 1)] \cdot \ln(7x^3 + 5) + (3x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(7x^3 + 5)] ] $= 6x \cdot \ln(7x^3 + 5) + (3x^2 - 1) \cdot \frac{1}{7x^3 + 5} \cdot \frac{d}{dx}[7x^3 + 5]$ $= 6x \cdot \ln(7x^3 + 5) + (3x^2 - 1) \cdot \frac{1}{7x^3 + 5} \cdot (21x^2)$ $= 6x \cdot \ln(7x^3 + 5) + \frac{21x^2(3x^2 - 1)}{7x^3 + 5}$

3. Einsetzen der Ableitung von $y$: Nun setzen wir die Ableitung auf der linken Seite ein und lösen nach $\frac{dy}{dx}$ auf: $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 6x \cdot \ln(7x^3 + 5) + \frac{21x^2(3x^2 - 1)}{7x^3 + 5}$ Multiplizieren beider Seiten mit $y$ (wobei $y = (7x^3 + 5)^{(3x^2 - 1)}$): $\frac{dy}{dx} = (7x^3 + 5)^{(3x^2 - 1)} \cdot \left[ 6x \cdot \ln(7x^3 + 5) + \frac{21x^2(3x^2 - 1)}{7x^3 + 5} \right]$

Das ist die vollständige Ableitung der Funktion!

Möchtest du mehr Details zu den einzelnen Schritten oder hast du Fragen zu einem Teil der Ableitung?

Hier sind ein paar weiterführende Fragen:

1. Wie verwendet man die logarithmische Differentiation bei anderen Funktionen?
2. Was ist der Unterschied zwischen der Produktregel und der Kettenregel?
3. Wie kann man die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen berechnen?
4. Was ist der Zusammenhang zwischen der Kettenregel und der partiellen Ableitung?
5. Wie kann man die Berechnung von Ableitungen in Anwendungen wie Optimierung oder Kurvendiskussionen nutzen?

Tipp: Bei komplexeren Funktionen kann es hilfreich sein, eine Skizze der Funktion zu machen, um das Verhalten der Ableitung besser zu verstehen.