Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$, $y = x$, và hai đường thẳng $x = 2$, $x = 3$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$

Đầu tiên, ta kiểm tra hàm số này và nhận thấy có thể rút gọn: $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ Để phân tích biểu thức này, ta thực hiện phép chia đa thức giữa $x^2 - 2x + 3$ và $x - 1$. Kết quả của phép chia sẽ là: $y = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$

Bước 2: Tìm giao điểm của các đồ thị

Chúng ta cần tìm giao điểm của hai hàm số $y = x$ và $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$. Điều này có nghĩa là giải phương trình: $x = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ Giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với $x - 1$ (chú ý rằng $x \neq 1$): $x(x - 1) = x^2 - 2x + 3$ $x^2 - x = x^2 - 2x + 3$ Rút gọn: $-x = -2x + 3$ $x = 3$ Do đó, giao điểm của hai đồ thị là tại $x = 3$.

Bước 3: Tính diện tích

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 3$ là diện tích giữa hai hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ và $y = x$. Ta tính diện tích theo công thức tích phân: $S = \int_2^3 \left( \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} - x \right) dx$ Ta thay thế biểu thức $\frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ bằng $x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ vào công thức trên: $S = \int_2^3 \left( x + 1 + \frac{2}{x - 1} - x \right) dx$ Rút gọn: $S = \int_2^3 \left( 1 + \frac{2}{x - 1} \right) dx$ Tiến hành tính các tích phân: $\int_2^3 1 \, dx = [x]_2^3 = 3 - 2 = 1$ $\int_2^3 \frac{2}{x - 1} \, dx = 2 \ln|x - 1| \Big|_2^3 = 2 (\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$ Do đó, diện tích là: $S = 1 + 2 \ln 2$

Bước 4: So sánh với dạng $aln2 + b$

Dạng $S = 1 + 2 \ln 2$ có thể so sánh với $aln2 + b$. Ta có: $a = 2, \quad b = 1$ Vậy giá trị của $a + b = 2 + 1 = 3$.

Kết luận:

Giá trị của $a + b$ là $3$.

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết hơn về các bước này không?

Dưới đây là một số câu hỏi liên quan để mở rộng thêm kiến thức:

1. Tại sao khi giải phương trình $x = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$, chúng ta cần nhân cả hai vế với $x - 1$?
2. Bạn có thể giải thích thêm về cách rút gọn biểu thức $\frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ không?
3. Làm sao để xác định các điểm giao nhau giữa hai đồ thị trong trường hợp này?
4. Tại sao chúng ta cần tính diện tích giữa hai đồ thị bằng cách sử dụng tích phân?
5. Có cách khác để tính diện tích này mà không dùng tích phân không?

Mẹo: Khi làm các bài toán liên quan đến diện tích giữa các đồ thị, hãy luôn kiểm tra các điểm giao nhau trước, sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích chính xác.