Este es un problema clásico de dinámica de sistemas con rozamiento estático y aceleración común. Aquí está el análisis del sistema para encontrar la masa del bloque C que hará que el sistema se mueva con la misma aceleración.

Variables conocidas:

• Masa del bloque B: $m_B = 4.00 \, \text{kg}$
• Masa del bloque A: $m_A = 8.00 \, \text{kg}$
• Coeficiente de fricción estática entre $A$ y $B$: $\mu_s = 0.650$
• El sistema de polea es ideal (sin masa ni fricción).

Queremos determinar la masa del bloque $C$ para que todos los bloques se muevan con la misma aceleración cuando el sistema se suelta.

Fuerzas involucradas:

• El bloque B tiene el peso $m_B g$, donde $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$.
• Existe una fuerza de fricción entre los bloques A y B, que es lo que mantiene al bloque B en movimiento conjunto con el bloque A.
• El bloque A también tiene el peso $m_A g$, pero se encuentra sobre una mesa horizontal sin fricción.
• El bloque C cuelga y genera una fuerza descendente de $m_C g$, que es lo que impulsa el movimiento del sistema.

Diagrama de cuerpo libre:

• El bloque A es impulsado por la tensión $T$ de la cuerda.

• El bloque B es mantenido en su lugar por la fricción estática $f_s$, que es máxima cuando: $f_s = \mu_s N_B = \mu_s m_B g$ Donde $N_B$ es la normal sobre el bloque B.

• El bloque C genera una fuerza hacia abajo $m_C g$, que se transmite a través de la cuerda y provoca que el bloque A y el sistema entero acelere. La tensión en la cuerda para los bloques A y C es la misma.

Ecuaciones del sistema:

1. Para el bloque C (colgante): $m_C g - T = m_C a$

2. Para el bloque A (horizontal): $T = (m_A + m_B) a$

3. Fuerza máxima de fricción estática para evitar el deslizamiento entre A y B: $f_s = \mu_s m_B g$

La aceleración máxima del sistema para que el bloque B no se deslice sobre A viene dada por: $f_s = m_B a$ Es decir: $\mu_s m_B g = m_B a \quad \Rightarrow \quad a = \mu_s g$

Cálculo de la masa de $C$:

De las ecuaciones del sistema:

1. De la ecuación de tensión para el bloque C: $T = m_C (g - a)$

2. De la ecuación para el bloque A: $T = (m_A + m_B) a$

Igualamos las tensiones: $m_C (g - a) = (m_A + m_B) a$

Sustituyendo $a = \mu_s g$: $m_C (g - \mu_s g) = (m_A + m_B) \mu_s g$

Simplificamos: $m_C (1 - \mu_s) = (m_A + m_B) \mu_s$

Despejamos $m_C$: $m_C = \frac{(m_A + m_B) \mu_s}{1 - \mu_s}$

Sustituyendo valores:

$m_C = \frac{(8.00 \, \text{kg} + 4.00 \, \text{kg}) \cdot 0.650}{1 - 0.650}$

Calculamos:

$m_C = \frac{12.00 \, \text{kg} \cdot 0.650}{0.350}$

$m_C = \frac{7.8 \, \text{kg}}{0.35} = 22.29 \, \text{kg}$

Resultado:

La masa del bloque $C$ debe ser 22.29 kg para que el sistema se mueva con la misma aceleración.

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el sistema si el coeficiente de fricción entre A y B disminuye?
2. ¿Qué pasaría si la polea no fuera ideal y tuviera fricción?
3. ¿Cómo se afectaría el movimiento si la mesa tuviera fricción con el bloque A?
4. ¿Qué sucede si la masa del bloque B aumenta significativamente?
5. ¿Qué pasaría si la cuerda tuviera elasticidad y no fuera ideal?

Tip:

Cuando analices problemas con poleas y fricción, es útil identificar todas las fuerzas presentes y determinar la máxima fuerza de fricción para evitar deslizamientos.