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Analiza el problema y resuelve de forma sencilla y responde la pregunta ¿Qué valor de masa tiene el bloque C para que el sistema se mueva con la misma aceleración?

Este es un problema clásico de dinámica de sistemas con rozamiento estático y aceleración común. Aquí está el análisis del sistema para encontrar la masa del bloque C que hará que el sistema se mueva con la misma aceleración.

### Variables conocidas:
- Masa del bloque B: \( m_B = 4.00 \, \text{kg} \)
- Masa del bloque A: \( m_A = 8.00 \, \text{kg} \)
- Coeficiente de fricción estática entre \( A \) y \( B \): \( \mu_s = 0.650 \)
- El sistema de polea es ideal (sin masa ni fricción).
  
Queremos determinar la masa del bloque \( C \) para que todos los bloques se muevan con la misma aceleración cuando el sistema se suelta.

### Fuerzas involucradas:
- El bloque B tiene el peso \( m_B g \), donde \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \).
- Existe una fuerza de fricción entre los bloques A y B, que es lo que mantiene al bloque B en movimiento conjunto con el bloque A.
- El bloque A también tiene el peso \( m_A g \), pero se encuentra sobre una mesa horizontal sin fricción.
- El bloque C cuelga y genera una fuerza descendente de \( m_C g \), que es lo que impulsa el movimiento del sistema.
  
### Diagrama de cuerpo libre:
- El bloque A es impulsado por la tensión \( T \) de la cuerda.
- El bloque B es mantenido en su lugar por la fricción estática \( f_s \), que es máxima cuando:
  \[
  f_s = \mu_s N_B = \mu_s m_B g
  \]
  Donde \( N_B \) es la normal sobre el bloque B.
  
- El bloque C genera una fuerza hacia abajo \( m_C g \), que se transmite a través de la cuerda y provoca que el bloque A y el sistema entero acelere. La tensión en la cuerda para los bloques A y C es la misma.

### Ecuaciones del sistema:

1. **Para el bloque C (colgante):**
   \[
   m_C g - T = m_C a
   \]
   
2. **Para el bloque A (horizontal):**
   \[
   T = (m_A + m_B) a
   \]
   
3. **Fuerza máxima de fricción estática para evitar el deslizamiento entre A y B:**
   \[
   f_s = \mu_s m_B g
   \]

La aceleración máxima del sistema para que el bloque B no se deslice sobre A viene dada por:
\[
f_s = m_B a
\]
Es decir:
\[
\mu_s m_B g = m_B a \quad \Rightarrow \quad a = \mu_s g
\]

### Cálculo de la masa de \( C \):

De las ecuaciones del sistema:

1. De la ecuación de tensión para el bloque C:
   \[
   T = m_C (g - a)
   \]
   
2. De la ecuación para el bloque A:
   \[
   T = (m_A + m_B) a
   \]
   
Igualamos las tensiones:
\[
m_C (g - a) = (m_A + m_B) a
\]

Sustituyendo \( a = \mu_s g \):
\[
m_C (g - \mu_s g) = (m_A + m_B) \mu_s g
\]

Simplificamos:
\[
m_C (1 - \mu_s) = (m_A + m_B) \mu_s
\]

Despejamos \( m_C \):
\[
m_C = \frac{(m_A + m_B) \mu_s}{1 - \mu_s}
\]

### Sustituyendo valores:

\[
m_C = \frac{(8.00 \, \text{kg} + 4.00 \, \text{kg}) \cdot 0.650}{1 - 0.650}
\]

Calculamos:

\[
m_C = \frac{12.00 \, \text{kg} \cdot 0.650}{0.350}
\]

\[
m_C = \frac{7.8 \, \text{kg}}{0.35} = 22.29 \, \text{kg}
\]

### Resultado:
La masa del bloque \( C \) debe ser **22.29 kg** para que el sistema se mueva con la misma aceleración.

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambia el sistema si el coeficiente de fricción entre A y B disminuye?
2. ¿Qué pasaría si la polea no fuera ideal y tuviera fricción?
3. ¿Cómo se afectaría el movimiento si la mesa tuviera fricción con el bloque A?
4. ¿Qué sucede si la masa del bloque B aumenta significativamente?
5. ¿Qué pasaría si la cuerda tuviera elasticidad y no fuera ideal?

### Tip:
Cuando analices problemas con poleas y fricción, es útil identificar todas las fuerzas presentes y determinar la máxima fuerza de fricción para evitar deslizamientos.

¿Qué valor de masa tiene el bloque C para que el sistema se mueva con la misma aceleración?

Analyze a classic dynamics problem involving static friction and a pulley system. Learn how to calculate the required mass of block C to ensure uniform acceleration across the system using Newton's Laws and static friction concepts. Ideal for students in Grades 11-12.

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