Vaše pitanje se odnosi na kompleksne brojeve i njihove argumente te na prikazivanje tih brojeva u Gaussovoj ravnini. Da bismo precizno odgovorili, prvo ćemo detaljno analizirati sve uvjete koji su navedeni.

1. Analiza kompleksnog broja: Ako je kompleksni broj z zadan kao $z = -2 + 7i$, onda:

   • Realni dio je $\operatorname{Re}(z) = -2$,
   • Imaginarni dio je $\operatorname{Im}(z) = 7$.

   Ovaj kompleksni broj možemo prikazati kao $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$, gdje su $r$ i $\theta$ modul i argument broja $z$.

2. Modul $r$: Modul $r$ kompleksnog broja $z = -2 + 7i$ možemo izračunati pomoću formule: $r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$

3. Argument $\theta$: Argument $\theta$ je kut koji kompleksni broj $z = -2 + 7i$ zatvara s realnom osi. Koristimo arktangens: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{7}{-2}\right)$ Pošto se broj nalazi u drugom kvadrantu (jer je realni dio negativan, a imaginarni pozitivan), moramo dodati $\pi$ (ili $180^\circ$) rezultatu arktangensa kako bismo dobili ispravan kut.

4. Prikaz u Gaussovoj ravnini: Kompleksni broj $z = -2 + 7i$ može se prikazati u Gaussovoj ravnini kao točka sa koordinatama $(-2, 7)$.

---

Prikaz kompleksnih brojeva za $z = -1$

Ako tražimo sve kompleksne brojeve koji zadovoljavaju $|z| = 1$, onda su to brojevi oblika: $z = \cos \theta + i \sin \theta$ gdje je $\theta$ bilo koji kut, jer svi brojevi na jediničnoj kružnici imaju modul jednak 1. Ti brojevi mogu se prikazati u Gaussovoj ravnini kao točke na kružnici s radijusom 1, centrirane u ishodištu (0, 0).

---

Zaključak

Odgovori na navedene stavke temelje se na ovim zaključcima. Ako trebate dodatne detalje, slobodno postavite pitanje.

---

Imate li dodatnih pitanja ili trebate detaljniji prikaz? Evo nekoliko povezanih pitanja za dublje razumijevanje:

1. Kako se računa modul kompleksnog broja u općem slučaju?
2. Što je argument kompleksnog broja i kako se interpretira u Gaussovoj ravnini?
3. Kako bismo prikazali sve kompleksne brojeve s određenim modulom, poput $|z| = 1$, na grafu?
4. Kako izračunati i interpretirati kutne vrijednosti za kompleksne brojeve u različitim kvadrantima?
5. Kako možemo povezati trigonometrijske funkcije sa stvarnim i imaginarnim dijelovima kompleksnog broja?

Savjet: U Gaussovoj ravnini, kompleksni brojevi mogu biti predstavljeni kao točke ili vektori, što olakšava njihovo geometrijsko razumijevanje.