Talosta  3
  metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy  24
  asteen korkeuskulmassa ja  10
  metriä korkeammalta katsottaessa  21.4
  asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on  23
  metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus. Vastauksen toleranssirajoiksi on asetettu ± 0,1 m.

Tässä ongelmassa voidaan käyttää korkeuskulmia ja kolmioiden trigonometrisiä ominaisuuksia maston korkeuden määrittämiseksi. Oletetaan seuraavat määritelmät:

- \( h \): maston korkeus perustasta huippuun.
- Maston perusta on 23 metriä korkeammalla kuin talon perusta.
- Katselukulmat maston huippuun nähden ovat annettuina 24° ja 21,4° eri korkeuksista.

### Ratkaisuvaiheet:

1. **Määritetään ensin katselupisteiden korkeudet ja etäisyydet maston perustasta.**

   - Ensimmäinen katselupiste on 3 metriä talon perustasta, joten se on 26 metriä maston perustasta (23 m + 3 m).
   - Toinen katselupiste on 10 metriä korkeammalla kuin ensimmäinen, eli 13 metriä talon perustasta. Tämä tarkoittaa, että se on 36 metriä maston perustasta (23 m + 13 m).

2. **Trigonometristen funktioiden käyttö.**

   Koska tiedämme katselukulmat ja korkeudet maston perustasta, voimme kirjoittaa seuraavat yhtälöt:

   - Ensimmäisestä katselupisteestä (26 m korkeudelta): 
     \[
     \tan(24^\circ) = \frac{h}{d}
     \]
     missä \( d \) on etäisyys mastosta.

   - Toisesta katselupisteestä (36 m korkeudelta):
     \[
     \tan(21.4^\circ) = \frac{h}{d + 10}
     \]

3. **Ratkaistaan yhtälöpari.**

   Voimme käyttää näitä yhtälöitä selvittääksemme sekä \( h \):n että \( d \):n. Järjestelmä muodostuu kahdesta yhtälöstä:

   \[
   d = \frac{h}{\tan(24^\circ)}
   \]
   ja
   \[
   d + 10 = \frac{h}{\tan(21.4^\circ)}
   \]

4. **Vähennetään yhtälöt toisistaan ratkaistaaksemme h.**

   Sijoittamalla \( d \) ensimmäisestä yhtälöstä toiseen saadaan:
   \[
   \frac{h}{\tan(24^\circ)} + 10 = \frac{h}{\tan(21.4^\circ)}
   \]
   Ratkaisemalla tämä yhtälö saamme arvon \( h \), joka on maston korkeus.

### Laskenta

Lasketaan tämä yhtälö:

\[
\frac{h}{\tan(24^\circ)} + 10 = \frac{h}{\tan(21.4^\circ)}
\]

Ratkaisen tämän ja ilmoitan maston korkeuden.Maston korkeus on noin \( 32.7 \) metriä.

Haluatko lisätietoja laskuista tai tarkennuksia johonkin kohtaan? 

Tässä muutamia jatkokysymyksiä syventääksesi ymmärrystä:

1. Miten korkeuskulman muutos vaikuttaa maston korkeuden laskemiseen?
2. Miksi eri katselukorkeuksista katsottaessa korkeuskulma muuttuu?
3. Kuinka ratkaisumenetelmä muuttuisi, jos etäisyys maaston korkeuserosta olisi tuntematon?
4. Voisiko korkeuskulman mittauksissa olla virhelähteitä, ja miten ne vaikuttaisivat tulokseen?
5. Millä muilla trigonometrisilla keinoilla maston korkeutta voisi arvioida?

**Vinkki:** Trigonometristen funktioiden, kuten tangenttien käyttö, on hyödyllistä korkeuskulmien avulla tehtävissä etäisyyslaskuissa, sillä se yhdistää korkeuden ja vaakasuoran etäisyyden suhteet suoraan kulmaan.

Talosta 3 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy 24 asteen korkeuskulmassa ja 10 metriä korkeammalta katsottaessa 21,4 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 23 metriä korkeammalla kuin talon perusta. Määritä maston korkeus. Vastauksen toleranssirajoiksi on asetettu ± 0,1 m.

Solve a trigonometry problem involving angle of elevation to find the height of a transmission tower. With angles of 24° and 21.4° observed from different heights and a 23-meter height difference from the building foundation, determine the tower's height. Ideal for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation