Para determinar as expressões das parábolas dadas, observamos suas transformações em relação ao gráfico da função $y = x^2$. Analisamos cada gráfico (a, b, c) para identificar as translações, reflexões, alongamentos ou compressões. Vamos resolver passo a passo cada caso, comparando com o gabarito fornecido.

Gráfico (a)

1. Vértice da parábola:

   • O vértice está em $(-1, -5)$.

2. Alongamento e compressão:

   • A parábola parece mais "estreita" que a $y = x^2$, indicando uma compressão vertical.
   • Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é $\frac{5}{4}$.

3. Equação da parábola:

   • A forma geral da parábola é $y = a(x - h)^2 + k$, onde $(h, k)$ é o vértice.
   • Substituindo os valores: $y = \frac{5}{4}(x + 1)^2 - 5$.

Portanto, a equação para o gráfico (a) é: $y = \frac{5}{4}(x + 1)^2 - 5$

Gráfico (b)

1. Vértice da parábola:

   • O vértice está em $(1, -5)$.

2. Alongamento e compressão:

   • A parábola também parece mais "estreita", indicando um alongamento vertical.
   • Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é $5$.

3. Equação da parábola:

   • A forma geral da parábola é $y = a(x - h)^2 + k$, onde $(h, k)$ é o vértice.
   • Substituindo os valores: $y = 5(x - 1)^2 - 5$.

Portanto, a equação para o gráfico (b) é: $y = 5(x - 1)^2 - 5$

Gráfico (c)

1. Vértice da parábola:

   • O vértice está em $(1, 12)$.

2. Reflexão e compressão:

   • A parábola está refletida sobre o eixo x (abertura para baixo), indicando um coeficiente negativo.
   • A parábola é "mais larga", indicando uma compressão vertical.
   • Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é $-3$.

3. Equação da parábola:

   • A forma geral da parábola é $y = a(x - h)^2 + k$, onde $(h, k)$ é o vértice.
   • Substituindo os valores: $y = -3(x - 1)^2 + 12$.

Portanto, a equação para o gráfico (c) é: $y = -3(x - 1)^2 + 12$

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Esses são os passos para determinar as equações das parábolas nos gráficos dados. Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, sinta-se à vontade para perguntar!

Perguntas sugeridas:

1. Como identificar translações horizontais e verticais em gráficos de funções?
2. Qual é o impacto dos coeficientes de alongamento ou compressão em parábolas?
3. Como determinar a equação de uma parábola com vértice diferente de (0, 0)?
4. Como realizar a reflexão de uma parábola sobre o eixo x?
5. Quais são as características das parábolas com coeficientes positivos e negativos?

Dica: Lembre-se de que a forma padrão da equação de uma parábola $y = a(x - h)^2 + k$ é muito útil para identificar transformações como translações e alongamentos/compressões.