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explique como resolve sabendo que o gabarito é: a) (5)/(4)(x+1)^(2) - 5  b) 5(x-1)^(2) - 5  c) -3(x-1)^(2) + 12

Para determinar as expressões das parábolas dadas, observamos suas transformações em relação ao gráfico da função \( y = x^2 \). Analisamos cada gráfico (a, b, c) para identificar as translações, reflexões, alongamentos ou compressões. Vamos resolver passo a passo cada caso, comparando com o gabarito fornecido.

### Gráfico (a)
1. **Vértice da parábola:**
   - O vértice está em \((-1, -5)\).

2. **Alongamento e compressão:**
   - A parábola parece mais "estreita" que a \( y = x^2 \), indicando uma compressão vertical.
   - Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é \( \frac{5}{4} \).

3. **Equação da parábola:**
   - A forma geral da parábola é \( y = a(x - h)^2 + k \), onde \((h, k)\) é o vértice.
   - Substituindo os valores: \( y = \frac{5}{4}(x + 1)^2 - 5 \).

Portanto, a equação para o gráfico (a) é:
\[ y = \frac{5}{4}(x + 1)^2 - 5 \]

### Gráfico (b)
1. **Vértice da parábola:**
   - O vértice está em \((1, -5)\).

2. **Alongamento e compressão:**
   - A parábola também parece mais "estreita", indicando um alongamento vertical.
   - Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é \( 5 \).

3. **Equação da parábola:**
   - A forma geral da parábola é \( y = a(x - h)^2 + k \), onde \((h, k)\) é o vértice.
   - Substituindo os valores: \( y = 5(x - 1)^2 - 5 \).

Portanto, a equação para o gráfico (b) é:
\[ y = 5(x - 1)^2 - 5 \]

### Gráfico (c)
1. **Vértice da parábola:**
   - O vértice está em \((1, 12)\).

2. **Reflexão e compressão:**
   - A parábola está refletida sobre o eixo x (abertura para baixo), indicando um coeficiente negativo.
   - A parábola é "mais larga", indicando uma compressão vertical.
   - Considerando o valor fornecido no gabarito, o coeficiente é \( -3 \).

3. **Equação da parábola:**
   - A forma geral da parábola é \( y = a(x - h)^2 + k \), onde \((h, k)\) é o vértice.
   - Substituindo os valores: \( y = -3(x - 1)^2 + 12 \).

Portanto, a equação para o gráfico (c) é:
\[ y = -3(x - 1)^2 + 12 \]

---

Esses são os passos para determinar as equações das parábolas nos gráficos dados. Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, sinta-se à vontade para perguntar!

**Perguntas sugeridas:**
1. Como identificar translações horizontais e verticais em gráficos de funções?
2. Qual é o impacto dos coeficientes de alongamento ou compressão em parábolas?
3. Como determinar a equação de uma parábola com vértice diferente de (0, 0)?
4. Como realizar a reflexão de uma parábola sobre o eixo x?
5. Quais são as características das parábolas com coeficientes positivos e negativos?

**Dica:** Lembre-se de que a forma padrão da equação de uma parábola \( y = a(x - h)^2 + k \) é muito útil para identificar transformações como translações e alongamentos/compressões.

Learn how to determine the equations of parabolas by analyzing transformations and vertex forms. This guide covers practical examples with detailed steps for graphs (a), (b), and (c). Suitable for senior high school students.

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