Давайте решим задачу. У нас дано:

$f(x) = \arctg\left(1 + \frac{1}{x}\right), \quad x_0 = 0.$

Задание заключается в определении непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$ или типа разрыва в этой точке.

1. Рассмотрим функцию:

$f(x) = \arctg\left(1 + \frac{1}{x}\right).$

Арктангенс определён тогда, когда аргумент внутри него определён. Поэтому проанализируем выражение $1 + \frac{1}{x}$:

• Если $x > 0$: выражение $1 + \frac{1}{x}$ стремится к $+\infty$, когда $x \to 0^+$.
• Если $x < 0$: выражение $1 + \frac{1}{x}$ стремится к $-\infty$, когда $x \to 0^-$.

Таким образом, $\frac{1}{x}$ имеет разный знак в зависимости от подхода к нулю (слева или справа), и это влияет на аргумент функции $f(x)$.

2. Найдём односторонние пределы $f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \arctg\left(1 + \frac{1}{x}\right).$ Когда $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \to +\infty$, следовательно, $1 + \frac{1}{x} \to +\infty$, и $\arctg(+\infty) = \frac{\pi}{2}.$

Теперь рассмотрим предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \arctg\left(1 + \frac{1}{x}\right).$ Когда $x \to 0^-$, $\frac{1}{x} \to -\infty$, следовательно, $1 + \frac{1}{x} \to -\infty$, и $\arctg(-\infty) = -\frac{\pi}{2}.$

3. Вывод о разрыве:

Так как $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x),$ то существует разрыв первого рода (скачок) в точке $x_0 = 0$.

Ответ:

Разрыв функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$ — скачок.

Хотите более подробное объяснение или график для иллюстрации?

5 дополнительных вопросов:

1. Что такое арктангенс и какова его область значений?
2. Какие существуют виды разрывов и как их отличать?
3. Как вычислять односторонние пределы для сложных функций?
4. Почему разрыв в данном случае — скачок, а не второго рода?
5. Какие ещё свойства у функции $\arctg$ полезно знать для анализа?

Совет:

При анализе разрывов всегда проверяйте односторонние пределы и значение функции в точке разрыва, если оно существует.