Seja  V = R³ e o conjunto B = {(0,1,1);(1,1,0);(1,2,1)} ⊆ R³ Determine uma base de R³ que possua dois elementos de B.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar uma base de \( \mathbb{R}^3 \) que contenha dois elementos do conjunto \( B = \{(0,1,1), (1,1,0), (1,2,1)\} \subset \mathbb{R}^3 \). Vamos seguir os passos abaixo:

### Passo 1: Verificar a linearidade dos vetores
Primeiramente, é importante verificar se os vetores \( (0,1,1), (1,1,0) \) e \( (1,2,1) \) são linearmente independentes ou se há algum vetor que pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Calculando o determinante da matriz formada pelos três vetores, podemos verificar a independência linear.

Montemos a matriz com os vetores como linhas ou colunas:

\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

O determinante dessa matriz será:

\[
\det(A) = 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\]

Calculando os determinantes menores:

\[
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 2 = 1
\]

\[
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1
\]

\[
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 1
\]

Agora, substituímos esses valores no cálculo do determinante de \( A \):

\[
\det(A) = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 1 = 0
\]

Como o determinante é zero, os três vetores não são linearmente independentes. Portanto, existe uma combinação linear entre eles, o que significa que podemos escolher dois vetores que sejam linearmente independentes e formar uma base de \( \mathbb{R}^3 \) adicionando um terceiro vetor que não seja combinação linear desses dois.

### Passo 2: Escolher dois vetores de \( B \)
Agora, devemos escolher dois vetores de \( B \) que sejam linearmente independentes.

Vamos testar a independência linear dos vetores \( (0,1,1) \) e \( (1,1,0) \). Formamos a matriz \( A_2 \) com esses dois vetores:

\[
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

O determinante dessa matriz é:

\[
\det(A_2) = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1
\]

Como o determinante é diferente de zero, os vetores \( (0,1,1) \) e \( (1,1,0) \) são linearmente independentes.

### Passo 3: Encontrar um terceiro vetor
Agora que temos dois vetores linearmente independentes, podemos encontrar um terceiro vetor que complete a base de \( \mathbb{R}^3 \).

Como os vetores \( (0,1,1) \) e \( (1,1,0) \) já pertencem à base, o terceiro vetor pode ser qualquer vetor que seja linearmente independente desses dois. Por exemplo, podemos escolher o vetor canônico \( (1,0,0) \), pois ele não pode ser escrito como combinação linear de \( (0,1,1) \) e \( (1,1,0) \).

### Passo 4: Conclusão
Portanto, uma possível base de \( \mathbb{R}^3 \) que contenha dois elementos de \( B \) é:

\[
\{(0,1,1), (1,1,0), (1,0,0)\}
\]

Essa é uma base válida para \( \mathbb{R}^3 \), contendo dois dos vetores fornecidos.

---

Posso ajudar com mais alguma dúvida ou explicação? Aqui estão 5 questões relacionadas que você pode considerar:

1. Como identificar se um conjunto de vetores é linearmente independente?
2. O que significa o determinante de uma matriz ser igual a zero?
3. Como encontrar combinações lineares entre vetores?
4. Como construir bases de espaços vetoriais em dimensões diferentes?
5. Como o processo de escalonamento de matrizes ajuda na resolução de sistemas lineares?

**Dica**: Sempre que encontrar uma matriz singular (determinante zero), pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Seja  V = R³ e o conjunto B = {(0,1,1);(1,1,0);(1,2,1)} ⊆ R³. Determine uma base de R³ que possua dois elementos de B.

Find a base of R³ that includes two vectors from the set B = {(0,1,1), (1,1,0), (1,2,1)}. This problem explores linear independence, the determinant of matrices, and the formation of vector space bases. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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