Dans l'exemple donné, on calcule $x'(t)$ et $y'(t)$ à partir des fonctions paramétriques $x(t) = t \cos(t)$ et $y(t) = t \sin(t)$. Voici les étapes pour expliquer comment ces dérivées sont obtenues :

$x(t) = t \cos(t)$

On utilise la règle du produit pour dériver $x(t)$, car il s'agit d'un produit entre deux fonctions : $t$ et $\cos(t)$.

La règle du produit est donnée par : $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.$

Dans ce cas :

• $u = t$, donc $u' = 1$,
• $v = \cos(t)$, donc $v' = -\sin(t)$.

On applique la règle : $x'(t) = t' \cdot \cos(t) + t \cdot (-\sin(t)),$ $x'(t) = 1 \cdot \cos(t) - t \cdot \sin(t).$

Ainsi : $x'(t) = \cos(t) - t \sin(t).$

$y(t) = t \sin(t)$

De même, on utilise la règle du produit. Ici :

• $u = t$, donc $u' = 1$,
• $v = \sin(t)$, donc $v' = \cos(t)$.

On applique la règle : $y'(t) = t' \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t),$ $y'(t) = 1 \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t).$

Ainsi : $y'(t) = \sin(t) + t \cos(t).$

Résumé :

• $x'(t) = \cos(t) - t \sin(t)$,
• $y'(t) = \sin(t) + t \cos(t)$.

Si tu as d'autres questions ou veux approfondir un point particulier, n'hésite pas ! 😊

Questions supplémentaires :

1. Pourquoi utilise-t-on la règle du produit dans ces dérivées ?
2. Comment dérive-t-on un produit de plus de deux termes ?
3. Qu'arrive-t-il si $t$ est constant (par exemple $t = 1$) ?
4. Comment utiliser ces dérivées pour calculer la vitesse $v(t)$ ?
5. Pourquoi $v(t) = t$ dans ce cas particulier ?

Un conseil :

Quand tu vois un produit de fonctions à dériver, pense toujours à la règle du produit et écris chaque étape clairement pour éviter les erreurs.