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comment ca se fait que x' et y' c est tcos et tsin?? quand il dérive je dis ?

Dans l'exemple donné, on calcule \( x'(t) \) et \( y'(t) \) à partir des fonctions paramétriques \( x(t) = t \cos(t) \) et \( y(t) = t \sin(t) \). Voici les étapes pour expliquer comment ces dérivées sont obtenues :

---

### \( x(t) = t \cos(t) \)

On utilise la règle du produit pour dériver \( x(t) \), car il s'agit d'un produit entre deux fonctions : \( t \) et \( \cos(t) \).

La règle du produit est donnée par :
\[
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.
\]

Dans ce cas :
- \( u = t \), donc \( u' = 1 \),
- \( v = \cos(t) \), donc \( v' = -\sin(t) \).

On applique la règle :
\[
x'(t) = t' \cdot \cos(t) + t \cdot (-\sin(t)),
\]
\[
x'(t) = 1 \cdot \cos(t) - t \cdot \sin(t).
\]

Ainsi :
\[
x'(t) = \cos(t) - t \sin(t).
\]

---

### \( y(t) = t \sin(t) \)

De même, on utilise la règle du produit. Ici :
- \( u = t \), donc \( u' = 1 \),
- \( v = \sin(t) \), donc \( v' = \cos(t) \).

On applique la règle :
\[
y'(t) = t' \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t),
\]
\[
y'(t) = 1 \cdot \sin(t) + t \cdot \cos(t).
\]

Ainsi :
\[
y'(t) = \sin(t) + t \cos(t).
\]

---

### Résumé :
- \( x'(t) = \cos(t) - t \sin(t) \),
- \( y'(t) = \sin(t) + t \cos(t) \).

Si tu as d'autres questions ou veux approfondir un point particulier, n'hésite pas ! 😊

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#### Questions supplémentaires :
1. Pourquoi utilise-t-on la règle du produit dans ces dérivées ?
2. Comment dérive-t-on un produit de plus de deux termes ?
3. Qu'arrive-t-il si \( t \) est constant (par exemple \( t = 1 \)) ?
4. Comment utiliser ces dérivées pour calculer la vitesse \( v(t) \) ?
5. Pourquoi \( v(t) = t \) dans ce cas particulier ?

#### Un conseil :  
Quand tu vois un produit de fonctions à dériver, pense toujours à la **règle du produit** et écris chaque étape clairement pour éviter les erreurs.

Discover how to compute the derivatives of the parametric functions x(t) = t cos(t) and y(t) = t sin(t) using the product rule. This comprehensive guide provides a step-by-step solution, covering essential calculus concepts and formulas, ideal for high school calculus students.

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