La dérivée de la fonction \( f(x) = \frac{8x - 7}{3x + 4} \) peut être calculée en utilisant la règle du quotient. Cette règle s'exprime ainsi :

\[
\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Où :
- \( u(x) = 8x - 7 \)
- \( v(x) = 3x + 4 \)

Calculons les dérivées de \( u(x) \) et \( v(x) \) :

- \( u'(x) = 8 \)
- \( v'(x) = 3 \)

En appliquant la règle du quotient, on obtient :

\[
f'(x) = \frac{8(3x + 4) - (8x - 7)(3)}{(3x + 4)^2}
\]

Développons le numérateur :

\[
f'(x) = \frac{8(3x + 4) - 3(8x - 7)}{(3x + 4)^2}
\]
\[
= \frac{24x + 32 - (24x - 21)}{(3x + 4)^2}
\]
\[
= \frac{24x + 32 - 24x + 21}{(3x + 4)^2}
\]
\[
= \frac{53}{(3x + 4)^2}
\]

Donc, la dérivée de la fonction est :

\[
f'(x) = \frac{53}{(3x + 4)^2}
\]

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Voici 5 questions pour approfondir :
1. Comment appliquer la règle du produit et du quotient en calcul différentiel ?
2. Quelles sont les conditions d'applicabilité de la règle du quotient ?
3. Comment résoudre des dérivées de fonctions composées ?
4. Quel est l'impact de la dérivée sur l'analyse des variations d'une fonction rationnelle ?
5. Comment utiliser la dérivée pour étudier le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle ?

**Astuce** : Lorsque vous dérivez une fonction rationnelle, assurez-vous de bien dériver séparément le numérateur et le dénominateur avant d'appliquer la règle du quotient.

Learn how to calculate the derivative of the function (8x - 7) / (3x + 4) using the quotient rule. This problem involves key calculus concepts such as the quotient rule for differentiation and linear function derivatives. Suitable for students in Grades 11-12.

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