Для функции $(2x)^{\sin(2x)}$ мы найдем производную, применяя метод логарифмического дифференцирования.

Решение:

Пусть $y = (2x)^{\sin(2x)}$.

1. Применим логарифм к обеим частям: $\ln(y) = \ln\left((2x)^{\sin(2x)}\right)$

2. Раскрываем логарифм степени: $\ln(y) = \sin(2x) \cdot \ln(2x)$

3. Продифференцируем обе стороны по $x$. Учтите, что $\ln(y)$ дифференцируется как $\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$ (правило цепочки): $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin(2x) \cdot \ln(2x)]$

4. Для правой части используем правило произведения: [ \frac{d}{dx}[\sin(2x) \cdot \ln(2x)] = \sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(2x)] + \ln(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x)]. ]

5. Найдем каждую производную по отдельности:

   • Производная $\ln(2x)$: $\frac{d}{dx}[\ln(2x)] = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}.$
   • Производная $\sin(2x)$: $\frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x).$

   Подставляем в формулу: $\frac{d}{dx}[\sin(2x) \cdot \ln(2x)] = \sin(2x) \cdot \frac{1}{x} + \ln(2x) \cdot 2\cos(2x).$

6. Умножим обе стороны на $y = (2x)^{\sin(2x)}$, чтобы выразить $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = (2x)^{\sin(2x)} \cdot \left(\sin(2x) \cdot \frac{1}{x} + \ln(2x) \cdot 2\cos(2x)\right).$

Итог:

Производная функции: $\frac{dy}{dx} = (2x)^{\sin(2x)} \cdot \left(\frac{\sin(2x)}{x} + 2\ln(2x)\cos(2x)\right).$

Если нужно разъяснение или помощь с другим примером, дайте знать!

Связанные вопросы:

1. Как найти производную функции $x^x$ с помощью логарифмического дифференцирования?
2. Какие свойства логарифмов применяются при нахождении производных?
3. Как применяется правило произведения в данном решении?
4. Какова геометрическая интерпретация производной для данной функции?
5. Какие другие методы можно использовать для дифференцирования сложных степенных функций?

Совет: Метод логарифмического дифференцирования особенно полезен, когда переменная находится как в основании, так и в показателе степени!