Math Problem Statement
puoi risolverlo
La seguente funzione è derivabile in x_0 = 0: f(x) = { x e^(-1/|x|) se x ≠ 0; 0 se x = 0 }?
Solution
Sì, posso aiutarti a risolvere il problema. Stiamo cercando di determinare se la funzione è derivabile in .
La funzione data è:
\begin{cases} x e^{-\frac{1}{|x|}} & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases}$$ ### Passo 1: Verificare la continuità in $$x = 0$$ Perché una funzione sia derivabile in $$x = 0$$, deve essere continua in $$x = 0$$. Quindi calcoliamo il limite di $$f(x)$$ per $$x \to 0$$: $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x e^{-\frac{1}{|x|}}.$$ Qui, l'esponenziale $$e^{-\frac{1}{|x|}}$$ tende a $$0$$ molto rapidamente per $$|x| \to 0$$, quindi il prodotto $$x e^{-\frac{1}{|x|}}$$ tende anch'esso a $$0$$. Pertanto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0.$$ Dal momento che $$f(0) = 0$$, la funzione è continua in $$x = 0$$. --- ### Passo 2: Calcolare la derivata La derivata di $$f(x)$$ in $$x = 0$$ è definita come: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}.$$ Sostituendo $$f(h)$$ nella definizione: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h e^{-\frac{1}{|h|}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} e^{-\frac{1}{|h|}}.$$ Qui, osserviamo che quando $$h \to 0$$, il termine $$e^{-\frac{1}{|h|}} \to 0$$. Quindi: $$f'(0) = 0.$$ --- ### Passo 3: Derivata per $$x \neq 0$$ Per $$x \neq 0$$, calcoliamo la derivata usando il prodotto: $$f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{|x|}}.$$ Deriviamo: $$f'(x) = 1 \cdot e^{-\frac{1}{|x|}} + x \cdot \frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{|x|}}\right).$$ Calcoliamo ora $$\frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{|x|}}\right)$$. Poiché $$|x|$$ è una funzione a tratti, consideriamo il caso $$x > 0$$ (il caso $$x < 0$$ è simmetrico). Otteniamo: $$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{|x|}\right) = \frac{1}{x^2}.$$ Pertanto: $$\frac{d}{dx}\left(e^{-\frac{1}{|x|}}\right) = e^{-\frac{1}{|x|}} \cdot \frac{1}{x^2}.$$ Sostituendo: $$f'(x) = e^{-\frac{1}{|x|}} + x \cdot e^{-\frac{1}{|x|}} \cdot \frac{1}{x^2} = e^{-\frac{1}{|x|}} + \frac{e^{-\frac{1}{|x|}}}{x}.$$ --- ### Conclusione La funzione è derivabile in $$x = 0$$, e la derivata è $$f'(0) = 0$$.Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Calculus
Limits
Derivatives
Continuity
Formulas
Definition of derivative: f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Exponential function properties: e^x
Theorems
Definition of Continuity
Definition of Differentiability
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus