Pentru a demonstra că $x + y + z \geq \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}$ pentru orice $x, y, z \geq 0$, vom utiliza inegalitatea Cauchy-Schwarz aplicată la sume și rădăcini pătrate.

Demonstrația:

Considerăm inegalitatea Cauchy-Schwarz în forma:

$(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) \geq (ax + by + cz)^2.$

Alegem $a = \sqrt{x}$, $b = \sqrt{y}$, $c = \sqrt{z}$, și $x = \sqrt{y}$, $y = \sqrt{z}$, $z = \sqrt{x}$.

Aplicând inegalitatea Cauchy-Schwarz, obținem:

$(\sqrt{x}^2 + \sqrt{y}^2 + \sqrt{z}^2)(\sqrt{y}^2 + \sqrt{z}^2 + \sqrt{x}^2) \geq (\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot \sqrt{z} + \sqrt{z} \cdot \sqrt{x})^2.$

Simplitând termenii:

$(x + y + z)(x + y + z) \geq (\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2.$

Rezultă:

$(x + y + z)^2 \geq (\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2.$

Aplicăm rădăcina pătrată pe ambele părți:

$x + y + z \geq \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}.$

Concluzie:

Am demonstrat astfel că pentru orice $x, y, z \geq 0$, inegalitatea $x + y + z \geq \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}$ este adevărată.

---

Dorești detalii suplimentare sau ai alte întrebări?

Întrebări similare:

1. Cum se demonstrează inegalitatea aritmetică-geometrică pentru 3 termeni?
2. Ce alte aplicații are inegalitatea Cauchy-Schwarz în probleme de optimizare?
3. Care sunt condițiile de egalitate pentru inegalitatea Cauchy-Schwarz?
4. Cum se aplică inegalitatea Minkowski pentru trei termeni?
5. Cum poate fi utilizată inegalitatea Cauchy-Schwarz în geometrie analitică?

Sfaturi:

Reține că inegalitatea Cauchy-Schwarz este un instrument puternic în demonstrațiile matematice și poate fi aplicată în multe situații diverse.