Queremos demostrar que si $0 < x < 1$ y si $t^2 = x$ con $t > 0$, entonces $x < t$.

Dado:

• $0 < x < 1$
• $t^2 = x$ con $t > 0$

Demostración:

Sabemos que $t^2 = x$, por lo que $t = \sqrt{x}$ ya que $t > 0$.

Queremos demostrar que $x < t$, es decir, $x < \sqrt{x}$.

1. Consideremos la función $f(x) = \sqrt{x} - x$. Vamos a analizar su comportamiento para $0 < x < 1$.

2. Sabemos que: $f(x) = \sqrt{x} - x$ Evaluemos esta función en los extremos del intervalo $(0, 1)$:

   • Para $x = 0$, tenemos $f(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.
   • Para $x = 1$, tenemos $f(1) = \sqrt{1} - 1 = 0$.

3. Derivemos $f(x)$ para ver su comportamiento: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ La derivada $f'(x)$ es positiva para $0 < x < 1$, ya que $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 1$ para cualquier $x$ en ese intervalo. Por lo tanto, la función $f(x)$ es creciente en el intervalo $0 < x < 1$.

4. Dado que $f(x) > 0$ en $0 < x < 1$, tenemos que $\sqrt{x} > x$ para cualquier $x$ en $0 < x < 1$. Esto implica que $t = \sqrt{x} > x$, que es lo que queríamos demostrar.

Conclusión:

Si $0 < x < 1$ y $t^2 = x$ con $t > 0$, entonces $x < t$.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta demostración?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia esta demostración si $x > 1$?
2. ¿Qué sucede si $t \leq 0$?
3. ¿Qué propiedades de las funciones cuadráticas se usaron en la demostración?
4. ¿Cómo influye la concavidad de $\sqrt{x}$ en la desigualdad?
5. ¿Qué ocurre si analizamos $t^2 > x$ en lugar de $t^2 = x$?

Tip:

Recuerda que para $0 < x < 1$, la función raíz cuadrada siempre es mayor que el valor original de $x$.