Kita diminta menghitung integral berikut:

$\int_0^1 \sqrt{x}(x^2 + 2) \, dx$

1. Analisis Integral

Integral yang diberikan memiliki bentuk:

$\int_0^1 \sqrt{x}(x^2 + 2) \, dx$

Fungsi di dalam integral adalah hasil perkalian $\sqrt{x}$ dengan $x^2 + 2$. Kita akan memisahkan dan mengintegrasikan setiap suku satu per satu.

---

2. Pecah Integral

Kita tulis ulang:

$\int_0^1 \sqrt{x}(x^2 + 2) \, dx = \int_0^1 \sqrt{x}x^2 \, dx + \int_0^1 \sqrt{x} \cdot 2 \, dx$

Sekarang kita akan menghitung masing-masing suku secara terpisah.

---

3. Hitung Suku Pertama: $\int_0^1 \sqrt{x}x^2 \, dx$

Kita tahu bahwa $\sqrt{x} = x^{1/2}$, sehingga:

$\sqrt{x}x^2 = x^{1/2} \cdot x^2 = x^{5/2}$

Maka integral menjadi:

$\int_0^1 x^{5/2} \, dx$

Gunakan aturan integral:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(untuk } n \neq -1\text{)}.$

Dalam kasus ini, $n = \frac{5}{2}$. Jadi:

[ \int_0^1 x^{5/2} , dx = \left[\frac{x^{7/2}}{7/2}\right]_0^1 = \frac{2}{7} \left[x^{7/2}\right]_0^1 ]

Substitusi batas $x = 1$ dan $x = 0$:

$\frac{2}{7} \left[1^{7/2} - 0^{7/2}\right] = \frac{2}{7} (1 - 0) = \frac{2}{7}.$

Jadi, hasil suku pertama adalah:

$\frac{2}{7}.$

---

4. Hitung Suku Kedua: $\int_0^1 \sqrt{x} \cdot 2 \, dx$

Faktor konstanta $2$ bisa dikeluarkan:

$\int_0^1 2\sqrt{x} \, dx = 2 \int_0^1 x^{1/2} \, dx$

Gunakan lagi aturan integral:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.$

Di sini, $n = \frac{1}{2}$. Jadi:

[ \int_0^1 x^{1/2} , dx = \left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} \left[x^{3/2}\right]_0^1 ]

Substitusi batas $x = 1$ dan $x = 0$:

$\frac{2}{3} \left[1^{3/2} - 0^{3/2}\right] = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}.$

Kalikan kembali dengan faktor $2$:

$2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$

Jadi, hasil suku kedua adalah:

$\frac{4}{3}.$

---

5. Gabungkan Kedua Suku

Gabungkan hasil dari kedua suku:

$\int_0^1 \sqrt{x}(x^2 + 2) \, dx = \frac{2}{7} + \frac{4}{3}.$

Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya. Penyebutnya adalah $21$:

$\frac{2}{7} = \frac{6}{21}, \quad \frac{4}{3} = \frac{28}{21}.$

Jadi:

$\frac{2}{7} + \frac{4}{3} = \frac{6}{21} + \frac{28}{21} = \frac{34}{21}.$

---

6. Hasil Akhir

Hasil integral adalah:

$\int_0^1 \sqrt{x}(x^2 + 2) \, dx = \frac{34}{21}.$

---

Apakah penjelasan ini cukup jelas? Jika ada yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut, silakan beri tahu saya!

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana aturan integral untuk fungsi pangkat?
2. Apa perbedaan antara integral tertentu dan tak tentu?
3. Bagaimana cara menghitung integral jika batas atas atau bawah tak hingga?
4. Apa peran konstanta dalam perhitungan integral?
5. Bagaimana cara mengintegrasikan fungsi lebih kompleks, seperti trigonometri atau eksponensial?

Tip: Saat menghitung integral dengan fungsi yang kompleks, pecah fungsi menjadi suku-suku yang lebih sederhana, lalu integrasikan satu per satu.