Давайте разберём и решим данный интеграл.

Дано:

На графике изображена функция $f(x)$, и требуется вычислить определённый интеграл:

$\int_{-1}^{3} f(x) \, dx.$

Определённый интеграл можно рассчитать, как сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции и осью $x$. При этом:

• Площади выше оси $x$ считаются положительными.
• Площади ниже оси $x$ считаются отрицательными.

Разбиение по участкам:

Участок $[-1, 0]$:

Это прямоугольник шириной 1 и высотой $-1$ (находится под осью $x$): $\text{Площадь} = -1 \cdot 1 = -1.$

Участок $[0, 1]$:

Это треугольник с основанием $1$ и высотой $1$: $\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5.$

Участок $[1, 2]$:

Это треугольник с основанием $1$ и высотой $1$: $\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5.$

Участок $[2, 3]$:

Это треугольник с основанием $1$ и высотой $1$: $\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5.$

Суммируем площади:

$\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = (-1) + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 0.5.$

Ответ:

$\boxed{0.5}$

Если у вас есть вопросы или хотите подробности, дайте знать!

5 вопросов по теме:

1. Как определить знак площади для фигуры под осью $x$?
2. Почему площадь треугольника считается через формулу $\frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$?
3. Что такое определённый интеграл в геометрическом смысле?
4. Как вычислять интегралы, если функция представлена аналитически?
5. В каких случаях интеграл может быть отрицательным?

Один совет:

При работе с графиками всегда чётко разбивайте область интегрирования на участки, где функция сохраняет форму.