a)Se debe realizar un trabajo de 2.5 Btu en una varilla de un conjunto 

pistón/cilindro neumático, donde la presión del aire está limitada a 482.38 kpa.¿ 

Que diámetro de cilindro se debe tener para restringir el movimiento de la varilla 

a un máximo de 56.40 cm?

Para la resolución se debe utilizar la siguiente ecuación:W = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ 𝑃𝑑𝑣 = 

∫ 𝑃𝐴𝑑𝑥 , integrando nos queda PAΔx

Exprese el resultado en pie y metros.

b) Si el trabajo realizado es de 2110.11 Joule , la presión del aire está limitada a 

413.7 Kpa, ¿Qué radio debe tener el cilindro para restringir el movimiento de la 

varilla a un máximo de 21.6 pulgadas.

### Parte (a)

Sabemos que el trabajo \( W \) realizado está dado por la ecuación:

\[
W = PA \Delta x
\]

donde:
- \( W = 2.5 \, \text{Btu} \)
- \( P = 482.38 \, \text{kPa} \)
- \( \Delta x = 56.40 \, \text{cm} = 0.564 \, \text{m} \)

Nuestro objetivo es encontrar el diámetro del cilindro necesario para que el área \( A \) produzca el trabajo deseado. 

#### Paso 1: Convertir \( W \) de Btu a Joules
1 Btu es aproximadamente 1055.06 Joules, por lo que:

\[
W = 2.5 \times 1055.06 = 2637.65 \, \text{J}
\]

#### Paso 2: Despejar el Área \( A \) en función del trabajo
Reorganizamos la ecuación para resolver \( A \):

\[
A = \frac{W}{P \Delta x}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
A = \frac{2637.65}{482.38 \times 10^3 \times 0.564} \approx 9.69 \times 10^{-3} \, \text{m}^2
\]

#### Paso 3: Calcular el diámetro
El área de un círculo es \( A = \frac{\pi d^2}{4} \). Despejando el diámetro \( d \):

\[
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}
\]

Sustituyendo el valor de \( A \):

\[
d = \sqrt{\frac{4 \times 9.69 \times 10^{-3}}{\pi}} \approx 0.111 \, \text{m} = 11.1 \, \text{cm}
\]

#### Conversión a pies
Para expresar el diámetro en pies:

\[
d = 0.111 \, \text{m} \times 3.281 \approx 0.364 \, \text{ft}
\]

**Respuesta Parte (a):** El diámetro del cilindro necesario es aproximadamente \( 11.1 \, \text{cm} \) o \( 0.364 \, \text{ft} \).

---

### Parte (b)

Ahora tenemos:
- \( W = 2110.11 \, \text{J} \)
- \( P = 413.7 \, \text{kPa} \)
- \( \Delta x = 21.6 \, \text{pulgadas} = 1.8 \, \text{ft} \)

Queremos encontrar el radio \( r \) del cilindro.

#### Paso 1: Calcular el área \( A \)
Usamos la fórmula del trabajo nuevamente:

\[
A = \frac{W}{P \Delta x}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
A = \frac{2110.11}{413.7 \times 10^3 \times (1.8 \times 0.3048)} \approx 9.37 \times 10^{-3} \, \text{m}^2
\]

#### Paso 2: Calcular el radio
Dado que \( A = \pi r^2 \), despejamos el radio \( r \):

\[
r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
\]

Sustituyendo el valor de \( A \):

\[
r = \sqrt{\frac{9.37 \times 10^{-3}}{\pi}} \approx 0.0546 \, \text{m} = 5.46 \, \text{cm}
\]

#### Conversión a pulgadas
Para expresar el radio en pulgadas:

\[
r = 0.0546 \, \text{m} \times 39.37 \approx 2.15 \, \text{pulgadas}
\]

**Respuesta Parte (b):** El radio del cilindro necesario es aproximadamente \( 5.46 \, \text{cm} \) o \( 2.15 \, \text{pulgadas} \).

¿Deseas una explicación detallada de alguno de estos pasos o tienes alguna pregunta?

---

### Preguntas relacionadas

1. ¿Cómo afecta la presión a la relación entre el trabajo realizado y el área del cilindro?
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3. ¿Cuál sería el diámetro si el trabajo fuera el doble manteniendo la presión y la longitud constantes?
4. ¿Cómo se convertiría este proceso si usáramos unidades inglesas desde el principio?
5. ¿Cómo afecta la temperatura del aire a la presión en un cilindro neumático?

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### Tip

**Tip:** Cuando trabajes con integrales en problemas físicos, asegúrate de que todas las unidades estén en un sistema coherente antes de realizar cálculos, ya que esto reduce errores en las conversiones de unidades.

Se debe realizar un trabajo de 2.5 Btu en una varilla de un conjunto pistón/cilindro neumático, donde la presión del aire está limitada a 482.38 kpa. ¿Qué diámetro de cilindro se debe tener para restringir el movimiento de la varilla a un máximo de 56.40 cm? Para la resolución se debe utilizar la siguiente ecuación: W = ∫ F dx = ∫ P dv = ∫ PA dx, integrando nos queda PAΔx. Exprese el resultado en pie y metros. Si el trabajo realizado es de 2110.11 Joule, la presión del aire está limitada a 413.7 Kpa, ¿Qué radio debe tener el cilindro para restringir el movimiento de la varilla a un máximo de 21.6 pulgadas?

Calculate the required cylinder diameter and radius for a pneumatic piston/cylinder system performing 2.5 Btu of work under 482.38 kPa and 2110.11 Joules under 413.7 kPa, with displacement constraints. This solution uses integration, work-energy principles, and unit conversions, making it suitable for advanced physics and engineering learners.

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