Parte (a)

Sabemos que el trabajo $W$ realizado está dado por la ecuación:

$W = PA \Delta x$

donde:

• $W = 2.5 \, \text{Btu}$
• $P = 482.38 \, \text{kPa}$
• $\Delta x = 56.40 \, \text{cm} = 0.564 \, \text{m}$

Nuestro objetivo es encontrar el diámetro del cilindro necesario para que el área $A$ produzca el trabajo deseado.

Paso 1: Convertir $W$ de Btu a Joules

1 Btu es aproximadamente 1055.06 Joules, por lo que:

$W = 2.5 \times 1055.06 = 2637.65 \, \text{J}$

Paso 2: Despejar el Área $A$ en función del trabajo

Reorganizamos la ecuación para resolver $A$:

$A = \frac{W}{P \Delta x}$

Sustituyendo los valores:

$A = \frac{2637.65}{482.38 \times 10^3 \times 0.564} \approx 9.69 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$

Paso 3: Calcular el diámetro

El área de un círculo es $A = \frac{\pi d^2}{4}$. Despejando el diámetro $d$:

$d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}$

Sustituyendo el valor de $A$:

$d = \sqrt{\frac{4 \times 9.69 \times 10^{-3}}{\pi}} \approx 0.111 \, \text{m} = 11.1 \, \text{cm}$

Conversión a pies

Para expresar el diámetro en pies:

$d = 0.111 \, \text{m} \times 3.281 \approx 0.364 \, \text{ft}$

Respuesta Parte (a): El diámetro del cilindro necesario es aproximadamente $11.1 \, \text{cm}$ o $0.364 \, \text{ft}$.

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Parte (b)

Ahora tenemos:

• $W = 2110.11 \, \text{J}$
• $P = 413.7 \, \text{kPa}$
• $\Delta x = 21.6 \, \text{pulgadas} = 1.8 \, \text{ft}$

Queremos encontrar el radio $r$ del cilindro.

Paso 1: Calcular el área $A$

Usamos la fórmula del trabajo nuevamente:

$A = \frac{W}{P \Delta x}$

Sustituyendo los valores:

$A = \frac{2110.11}{413.7 \times 10^3 \times (1.8 \times 0.3048)} \approx 9.37 \times 10^{-3} \, \text{m}^2$

Paso 2: Calcular el radio

Dado que $A = \pi r^2$, despejamos el radio $r$:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Sustituyendo el valor de $A$:

$r = \sqrt{\frac{9.37 \times 10^{-3}}{\pi}} \approx 0.0546 \, \text{m} = 5.46 \, \text{cm}$

Conversión a pulgadas

Para expresar el radio en pulgadas:

$r = 0.0546 \, \text{m} \times 39.37 \approx 2.15 \, \text{pulgadas}$

Respuesta Parte (b): El radio del cilindro necesario es aproximadamente $5.46 \, \text{cm}$ o $2.15 \, \text{pulgadas}$.

¿Deseas una explicación detallada de alguno de estos pasos o tienes alguna pregunta?

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Tip

Tip: Cuando trabajes con integrales en problemas físicos, asegúrate de que todas las unidades estén en un sistema coherente antes de realizar cálculos, ya que esto reduce errores en las conversiones de unidades.